Konvergenz-Interval-Endpunkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Do 06.09.2012 | | Autor: | tunahan |
| Aufgabe | Bestimme das Konvergenzintervall für die Potenzreihe
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n+1}}{n}.x^{n}[/mm]
mit Untersuchung der Endpunkte |
meine Probe,
[mm]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=[/mm]
[mm]\frac{\frac{3^{(n+1)+1}}{n+1}}{\frac{3^{n+1}}{n}}=[/mm]
[mm]\frac{3^{n+2}}{n+1}.\frac{n}{3^{n+1}}=\frac{3}{1}=3\[/mm]
und folglich konvergiert die Reihe für [mm]|x < 1| [/mm]
[mm]\lim_{x \to \infty}|a_{n}|=3[/mm]
und es ist offensichtlich keine Nullfolge. Daher konvergiert die Reihe in beiden
Endpunkten nicht.
Ist das korrekt und was muss ich noch dazu tun ?
LG tunahan
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Hallo tunahan,
Zunächst würde ich schreiben: [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n+1}}{n}x^{n}=3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{n}}{n}x^{n}
[/mm]
jetzt das Quotientkriterium:
[mm] limsup_{n\rightarrow\infty}|a_{n+1}/a_n|=limsup_{n\rightarrow\infty}|\frac{3^{n+1}*n*x^{n+1}}{3^n*(n+1)x^n}|
[/mm]
[mm] =limsup_{n\rightarrow\infty}|3*x*\frac{n}{n+1}|=|3x|<1
[/mm]
Alsoooo....?
Untersuche nun noch einmal die Randpunkte.
> [mm] \frac{3^{n+2}}{n+1}.\frac{n}{3^{n+1}}=\frac{3}{1}=3
[/mm]
Was soll das denn sein? Du hast hier einen Grenzwert gebildet. Das sollte man dann auch hinschreiben. So wie es da steht ist es nicht korrekt.
> [mm] \lim_{x \to \infty}|a_{n}|=3
[/mm]
Was soll [mm] a_n [/mm] sein?
> Daher konvergiert die Reihe in beiden Endpunkten nicht.
Das stimmt nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 06.09.2012 | | Autor: | tunahan |
Danke erstmal,
LG tunahan
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