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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:35 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Whizzle |
Hallo!
Habe folgende Aufgabe:
Sei [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} a_{k} [/mm] eine absolt konvergente Reihe und [mm] (\varepsilon_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Nullfolge. Man zeige:
[mm] a_{n} \varepsilon_{1} [/mm] + [mm] a_{n-1} \varepsilon_{2} [/mm] +...+ [mm] a_{2} \varepsilon_{n-1} [/mm] + [mm] a_{1} \varepsilon_{n} [/mm] -> 0 für n-> [mm] \infty
[/mm]
Weiß vielleicht jemand wie das zu beweisen ist? Es ist ja auch irgendwie logisch, aber ich hab keine Idee für einen Beweis.
MfG
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> Hallo!
> Habe folgende Aufgabe:
> Sei [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} a_{k}[/mm] eine absolt konvergente
> Reihe und [mm](\varepsilon_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Nullfolge. Man
> zeige:
> [mm]a_{n} \varepsilon_{1}[/mm] + [mm]a_{n-1} \varepsilon_{2}[/mm] +...+
> [mm]a_{2} \varepsilon_{n-1}[/mm] + [mm]a_{1} \varepsilon_{n}[/mm] -> 0 für
> n-> [mm]\infty[/mm]
> Weiß vielleicht jemand wie das zu beweisen ist? Es ist ja
> auch irgendwie logisch, aber ich hab keine Idee für einen
> Beweis.
Hallo,
ich hab' mir ganz schön den Kopf zerbrochen, aber ich glaube, jetzt hab ich's:
Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{ \infty} a_{k} [/mm] ist absolut konvergent, d. h.
die Folge [mm] (A_n) [/mm] mit [mm] A_n:=\summe_{k=1}^{n} |a_{k}| [/mm] konvergiert, also Cauchyfolge.
Somit gibt es ein [mm] N_1 \in \IN [/mm] mit
[mm] |A_n-A_{N_1}|=|a-n|+|a_n-1|+...+|a_{N_1+1}| \le \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge N_1.
[/mm]
Da [mm] (\varepsilon_n) [/mm] Nullfolge, gibt es ein [mm] N_2 \in \IN [/mm] mit
[mm] |\varepsilon_n| \le \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge N_2.
[/mm]
Sei N:=max { [mm] N_1, N_2 [/mm] }.
Weil [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (\varepsilon_n) [/mm] Nullfolgen sind - [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert - sind diese Folgen beschränkt, also gibt es max { [mm] \varepsilon_n [/mm] :n [mm] \in \IN [/mm] }
und max{ [mm] a_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] }.
Sei nun [mm] \varepsilon':=\varepsilon(max [/mm] { [mm] \varepsilon_n [/mm] :n [mm] \in \IN [/mm] }+Nmax{ [mm] a_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] })>0
Sei n [mm] \ge [/mm] 2N. Es ist
[mm] |c_n|=|a_n \varepsilon_1+...+a_1 \varepsilon_n|
[/mm]
[mm] \le|a_n \varepsilon_1|+...+|a_1 \varepsilon_n|
[/mm]
= [mm] |a_n \varepsilon_1|+...+|a_{N+1} \varepsilon_{n-N}|+|a_{N} \varepsilon_{n-N+1}|...+|a_1 \varepsilon_n|
[/mm]
[mm] \le [/mm] ( [mm] |a-n|+|a_n-1|+...+|a_{N+1}| [/mm] ) max { [mm] \varepsilon_n [/mm] :n [mm] \in \IN [/mm] } + max{ [mm] a_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] (|\varepsilon_{n-N+1}|...+|\varepsilon_n|) [/mm]
[mm] \le \varepsilon [/mm] max { [mm] \varepsilon_n [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] } + max{ [mm] a_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] } N [mm] \varepsilon
[/mm]
= [mm] \varepsilon [/mm] (max { [mm] \varepsilon_n [/mm] :n [mm] \in \IN [/mm] }+Nmax{ [mm] a_n: [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] })= [mm] \varepsilon'
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Di 15.11.2005 | | Autor: | Whizzle |
Super, vielen Dank für die schnelle Hilfe, sieht logisch aus was du gemacht hast, aber ich wäre alleine nie darauf gekommen. Danke nochmal
Whizzle
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