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| Aufgabe 1 | Für n [mm] \in \IN_{0} [/mm] sei: 0! :=1 , 1! :=1 , n! := 1*2*3*4*....*n.
a) Für k [mm] \in \IN_{0} [/mm] und n [mm] \ge [/mm] k gilt n! [mm] \ge k!(k+1)^{n-k}.
[/mm]
b) Mit HIlfe von Teil a (k=1) und der geometrischen Reihe zeie man, dass die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm]
konvergiert.
c) Mit Hilfe von Teil a zeige man
e:= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}< [/mm] 2, 75.
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| Aufgabe 2 | a) Für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}= [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
(Induktion)
b) Die Reihen [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] und
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] konvergieren.
c) Es gilt [mm] \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)}=1 [/mm] und
[mm] \summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] < 2
(genau: [mm] \bruch{\pi^{2}}{6} \sim [/mm] 1,645). |
Zu Aufgabe 1:
Zuerst habe ich die a) in zwei Fälle aufgeteilt.
1.mal in n=k
hier ist es ja so das der Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung
[mm] (k+1)^{n-k} [/mm] immer den Wert 1 annimmt, da der Exponent immer 0 wird.
D.h. für den 1. Fall stimmt diese Ungleichung.
beim 2. Fall d.h. n>k habe ich wirklich keine Ahnung wie ich das zeigen soll....ich habe ein paar Beispiele gemacht, aber das zählt ja nicht.
Würde mich freuen wen ihr da eine Idee hättet.
b) Ich habe nun unserer Ungleichung von oben bei a) benutzt und habe für k [mm] \to [/mm] k=1 gesetzt.
das heißt wir haben dann
n! [mm] \ge [/mm] k! [mm] (k+1)^{n-k}
[/mm]
n! [mm] \ge 2^{n-1}
[/mm]
da wir aber in unserer Summe der Aufgabenstellung von b) [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] stehen haben schreiben wir um:
[mm] \bruch{1}{n!} \ge \bruch{1}{2^{n-1}}
[/mm]
so also soweit bin ich, aber was ich dann machen soll weiß ich nicht, vielleicht könnt ihr mir helfen...danke
c) Bei der c) fällt mir absolut nichts ein....wäre jedenfalls trotzdem nett wenn ihr mir helfen könntet...
Aufgabe 6:
a) hier bin ich bis jetzt soweit...
Induktions Anfang
n=1
[mm] \bruch{1}{1+1}= 1-\bruch{1}{1+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}= \bruch{1}{2}
[/mm]
Induktions Schluss
n [mm] \to [/mm] (n+1)
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}+(n+1) [/mm] = [mm] 1-\bruch{1}{n+2}
[/mm]
so und jetzt müssen ja beide Seiten der Gleichung identisch werden...aber ich weiß nicht wie ich es machen soll...
Ich habe schon versucht die Nenner wegzubekommen, hat aber nicht zum Ziel geführt oder habe schon um 1 erweitert, hat auch nicht so ganz geklappt....ist warscheinlich ganz einfach....aber vielleicht habt ihr eine Idee.
b) und c) ist für mich das selbe problem....ich weiß einfach nicht was ich da machen soll. Ich weiß zwar so zielmlich was konvergieren ist, aber ich bin total überfragt wie ich diese Aufgabe lösen soll....
Es wäre nett wenn ihr mir Antworten könntet...
Danke schon mal im vorraus.
Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Di 09.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Shiny
> Für n [mm]\in \IN_{0}[/mm] sei: 0! :=1 , 1! :=1 , n! :=
> 1*2*3*4*....*n.
> a) Für k [mm]\in \IN_{0}[/mm] und n [mm]\ge[/mm] k gilt n! [mm]\ge k!(k+1)^{n-k}.[/mm]
>
> b) Mit HIlfe von Teil a (k=1) und der geometrischen Reihe
> zeie man, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm]
> konvergiert.
> c) Mit Hilfe von Teil a zeige man
> e:= [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!}<[/mm] 2, 75.
>
> a) Für alle n [mm]\in \IN[/mm] gilt
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}=[/mm] 1- [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
> (Induktion)
> b) Die Reihen [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}}[/mm] konvergieren.
> c) Es gilt [mm]\summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)}=1[/mm] und
> [mm]\summe_{K=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}}[/mm] < 2
> (genau: [mm]\bruch{\pi^{2}}{6} \sim[/mm] 1,645).
> Zu Aufgabe 1:
> Zuerst habe ich die a) in zwei Fälle aufgeteilt.
> 1.mal in n=k
> hier ist es ja so das der Ausdruck auf der rechten Seite
> der Gleichung
> [mm](k+1)^{n-k}[/mm] immer den Wert 1 annimmt, da der Exponent
> immer 0 wird.
> D.h. für den 1. Fall stimmt diese Ungleichung.
> beim 2. Fall d.h. n>k habe ich wirklich keine Ahnung wie
> ich das zeigen soll....ich habe ein paar Beispiele gemacht,
> aber das zählt ja nicht.
Du brauchst einen Induktionsbeweis!
[mm] n\ge [/mm] k heisst n=k+m, [mm] m\ge [/mm] 0 also hast du mit m=0 n=k schon den Induktionsanfang.
Induktionsvors: fur n=k+m richtig daraus soo gfolgert werden für n=k+m+1 richtig!
es gilt also (k+m)! [mm] \ge k!*(k+1)^{m}
[/mm]
multipliziert man die Ungleichung mit (k+m+1)
so hat man k+m+1)! [mm] \ge k!*(k+1)^{m}*(k+m+1) >k!*(k+1)^{m}*(k+1)=k!*(k+1)^{m+1}
[/mm]
Du musst lernen, die Induktionsvorraussetzun hinzuschreiben, dann mit ihr weiterrechnen um eins höher zu kommen. manchmal hilft es, vorher von 1 auf 2 zu schliessen, dabei aber die Schritte genau aufzuschreiben!
> Würde mich freuen wen ihr da eine Idee hättet.
> b) Ich habe nun unserer Ungleichung von oben bei a)
> benutzt und habe für k [mm]\to[/mm] k=1 gesetzt.
> das heißt wir haben dann
> n! [mm]\ge[/mm] k! [mm](k+1)^{n-k}[/mm]
> n! [mm]\ge 2^{n-1}[/mm]
so falsch, wenn du die kehrwerte bildest, dreht sich das Ungleichheitszeichen um! 2<3 daraus 1/2>1/3
also n! [mm]\le 2^{n-1}[/mm]
damit ist die Summe über 1/n! auch kleiner als die Summe über [mm] (1/2)^{n-1} [/mm] und die Reihe kannst du summieren : geometrische Reihe! die sucht man immer wieder als Vergleich um Konvergenz von Reihen zu beweisen.
> da wir aber in unserer Summe der
> Aufgabenstellung von b) [mm]\bruch{1}{n!}[/mm] stehen haben
> schreiben wir um:
> [mm]\bruch{1}{n!} \ge \bruch{1}{2^{n-1}}[/mm]
>
> so also soweit bin ich, aber was ich dann machen soll weiß
> ich nicht, vielleicht könnt ihr mir helfen...danke
>
> c) Bei der c) fällt mir absolut nichts ein....wäre
> jedenfalls trotzdem nett wenn ihr mir helfen könntet...
wie in b mit der geometrischen Reihe abschätzen,
> Aufgabe 6:
>
> a) hier bin ich bis jetzt soweit...
> Induktions Anfang
> n=1
> [mm]\bruch{1}{1+1}= 1-\bruch{1}{1+1}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}= \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Induktions Schluss
> n [mm]\to[/mm] (n+1)
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{n+2}[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}+(n+1)[/mm] =
> [mm]1-\bruch{1}{n+2}[/mm]
die linke eite ist falsch, nicht (n+1) wird addiert sondern 1/(n+1)*n+2). fur die Summe bis n die Induktionsvors einsetzen und einfach das Ergebnis ausrechnen!
Du vergisst immer, dass man die Ind.vors auch benutzen muss! also dass die Formel schon für n stimmt!
> so und jetzt müssen ja beide Seiten der Gleichung identisch
> werden...aber ich weiß nicht wie ich es machen soll...
> Ich habe schon versucht die Nenner wegzubekommen, hat aber
> nicht zum Ziel geführt oder habe schon um 1 erweitert, hat
> auch nicht so ganz geklappt....ist warscheinlich ganz
> einfach....aber vielleicht habt ihr eine Idee.
> b) und c) ist für mich das selbe problem....ich weiß
> einfach nicht was ich da machen soll. Ich weiß zwar so
Wenn die Formel in a) bewiesen ist musst du doch nur sagen 1/(n+1) wird 0 für n gegen [mm] \infty!
[/mm]
dann [mm] 1/k*(k-1)>1/k^{2}>1/k*(k+1) [/mm] Nenner vergrößern heisst Bruch verkleinern! Und jetzt kannst du die Summen wegen 2a) nur anderer Summenanfang!
So, ne Menge Ratschläge, jetzt leg mal los und frag, wenn noch was unklar ist, aber erst etwas anstrengen!
Gruss leduart
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Zunächst erst mal danke für die schnelle Hilfe, allerdings habe ich da dann doch noch ein paar Fragen...
zu 1: a)
also gut ich mache das mit Hilfe der Induktion.
im Induktionsanfag nehme ich n=k+m , wobei m=0 und n=k
(k+m)! [mm] \ge k!(k+1)^{m}
[/mm]
n! [mm] \ge [/mm] n!
Induktionsschluss
[mm] n\ge [/mm] k
n= k+m+1 , wobei [mm] m\ge [/mm] 0
(k+m+1)! [mm] \ge k!(k+1)^{m+1}
[/mm]
so ich hoffe bis hier in ist das stimmig. Und jetzt hast du gesagt sollte ich einfach nur die Ungleichung mit (k+m+1) multiplizieren.
so wie ich dich verstanden habe, wäre dann die nächste Zeile
[mm] \ge k!(k+1)^{m} [/mm] * (k+m+1) [mm] \ge k!(k+1)^{m+1}
[/mm]
aber wie kann man hier so einfach (k+m+1)! durch [mm] k!(k+1)^{m} [/mm] ersetzten, da bleibt doch die +1 unbeachtet.....????
Dann das selbe eine Zeile drunter, so wie ich es verstanden habe
> k! [mm] (k+1)^{m} [/mm] (k+1) = k! [mm] (k+1)^{m+1}
[/mm]
wie kann man hier einfach das m in der Klammer (k+m+1) streichen???
zu 1: b) so also ich habe die Formel von 1 a)
n! [mm] \ge [/mm] k! [mm] (k+1)^{n-k}
[/mm]
ich setzte für k [mm] \to [/mm] k=1
dann bekomme ich
n! [mm] \ge 2^{n-1}
[/mm]
aufgrund meiner Summe in der Aufgabenstellung bilde ich den Kerwehrt, also
[mm] \bruch{1}{n!} \le \bruch{1}{2^{n-1}}
[/mm]
so jetzt hast du gesagt das man daran sieht das die 1. Summe kleiner als die 2. ist....ok....
und dann shreibst du man kann die summen summieren...: geometrische Reihe...
Ich weiß nicht wie ich das machen soll...
Meine Tutorin hat mir nur gesagt, dass man schrieben würde
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n!} \le \bruch{1}{0!} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n!}=C
[/mm]
sie sagte wir sollen für das letzte [mm] \bruch{1}{n!} [/mm] den Bruch [mm] \bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] einsetzen......und dann die letzte Summe wieder gegen Null laufen lassen (wie mache ich das? schreibe ich dann einfach
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} [/mm] = meiner Meinung nach 2 oder wie mache ich das???), dann würde es der geometrischen Reihe ähnlich sehen und man könnte es dafür einsetzten (Verstehe ich auch nicht, was soll da raus kommen?).
Am Ende käme ein fester Wert herraus.
Dann könnte man mit Hilfe des Majorandenkriteriums sagen, dass wenn die größere Reihe konvergiert, dann tut das auch die kleinere.
zu 1: c) Habe ich genauso wenig verstanden, denke weil ich die b) nicht verstanden habe, aber vielleicht wird sich das ja mit einer Antwort von euch ändern.
zu 2: a) Danke für den Tipp....ich hab dann selbst gemerckt wie dumm der Fehler war....hab dann ein bisschen dran rumgebastelt und den kram bewiesen....Danke dafür.
zu2: b) bis jetzt bin ich soweit:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Der Ausdruck [mm] \bruch{1}{n+1}, [/mm] klar jetzt wo du es gesagt hast wird natürlich 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
da habe ich dann geschrieben
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] =1
Wie du schon gesagt hast, heißt Nenner vergrößern, den ruch verkleinern
und da kommst du dann auf die Folge
[mm] \bruch{1}{k(k-1)}>\bruch{1}{k^{2}}>\bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
die Frage hier, kann man da einfach das vorne dran schreiben und das Vorzeichen ändern? Geht das so einfach?
Meine Tutorin hat hier an dieser stelle eine Formel hingeklatscht die wir verwenden können aber auch begründen müssen warum wir sie nehmen und [mm] zwar\bruch{1}{k^{2}} \le \bruch{2}{k(k+1)}
[/mm]
Aber das wird den selben Zweck warscheinlich haben wie die Folge Reihe oben, oder???
und was ist mit der Begründung?
dann sagte sie wir sollen das MajorandenKriterium benutzen und sagen wenn die größere Reihe konvergiert tut es auch die kleine und das wäre es....sagt sie....
zu2:c)
Hier bin ich ja wieder mal total überfordert, was muss ich da überhaupt machen, ich meine was ist da meine Aufgabe???
Ich danke schon mal jetzt im vorraus für eure hilfe...
Mit freundlichen Grüßen ShinySmile
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Fr 12.05.2006 | | Autor: | ShinySmile |
Kann mir trotz abgelaufener Zeit, doch noch mal jemand eine Antwort auf meine Rückfrage geben?
Weil es interessiert mich erlich gesagt schon, wie das genau funktioniert...
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ShinySmile!
Das hat leduart hier etwas anders gemeint.
Ausgehen von der Induktionsvoraussetzung zeigen wir hier durch Äquivalenzumformung bzw. Abschätzung die Induktionsbehauptung (ist halt etwas anders als die "klassische Induktion").
$(k+m)! \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] k!*(k+1)^m$ [/mm] Dies gilt ja gemäß Induktionsvoraussetzung!
Nun multiplizieren wir diese Ungleichung mit dem Term $(k+m+1) \ > \ 0 \ \ \ \ [mm] \forall [/mm] \ k,m \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN_0$ [/mm] :
$(k+m)! [mm] *\blue{(k+m+1)} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] k!*(k+1)^m*\blue{(k+m+1)} [/mm] $
Links fassen wir nun mit der Fakultät zusammen. Rechts schätzen wir den Term [mm] $\blue{(k+m+1)} [/mm] $ ab, der ja sicher größer ist als der um $m_$ kleinere Term:
$k+m+1 \ [mm] \ge [/mm] \ k+1$ [mm] $\Rightarrow$ $k!*(k+1)^m*\blue{(k+m+1)} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] k!*(k+1)^m*\blue{(k+1)}$
[/mm]
Also gilt für unsere Ungleichung:
$(k+m+1)! \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] k!*(k+1)^m*\blue{(k+1)} [/mm] $
Nun können wir rechts gemäß  Potenzegesetz zusammenfassen und habe die Induktionsbehauptung ... fertig!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ShinySmile!
Zu zeigen: [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ 1$
Du sollst also diesen Grenzwert für diese Reihe nachweisen.
Dabei handelt es sich hier um eine sogenannte Teleskopreihe, da sich fast alle Summenglieder eliminieren.
Es gilt nämlich: [mm] $\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}$
[/mm]
Damit verbleibt von der Reihe lediglich:
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\left(\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}\right) [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{1}{1}-\bruch{1}{1+1}\right)+\left(\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2+1}\right)+\left(\bruch{1}{3}-\bruch{1}{3+1}\right)+... [/mm] \ = \ 1 \ [mm] \blue{-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}} [/mm] \ [mm] \green{-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{3}}-... [/mm] \ = \ ...$
Beim 2. Teil hilft vielleicht folgende Abschätzung weiter: [mm] $\bruch{1}{k} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{2}{k+1}$
[/mm]
Damit gilt auch: [mm] $\bruch{1}{k^2} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{2}{k*(k+1)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:20 Mo 15.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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