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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 09.11.2006 | | Autor: | chief |
| Aufgabe | | Zeigen Sie die Konvergenz [mm] b_{n}:=(2n-1)^-1/3 [/mm] -> 0 (n->infinity), indem Sie zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] mit [mm] |b_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge n_{0} [/mm] finden. |
Kann mir jemand helfen? Ich kapiere nicht einmal die Aufgabenstellung :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Do 09.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo chief
Erst mal kapieren was es heisst, dass eine Folge an gegen einen Grenzwert konvergiert für n gegen [mm] \infty:
[/mm]
Anschaulich, wenn man ein genügend großes n wählt kommt man beliebig nache mit an an den Grenzwert. d.h. bei deiner Folge ab einem bestimmten N sind alle an so klein wie man will. Da man "so klein wie man will" nicht genau definieren kann, sagt man: zu JEDEM [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein N so dass alle an mit n>N näher als [mm] \varepsilon [/mm] an 0 dran sind, d.h. [mm] |an|<\varepsilon.
[/mm]
Du kannst dir vorstellen jemand fragt "ab welchem n ist denn an<1/1000
dann musst du ne Antwort geben ab n=N=...
Damit nicht genug, wenn er jetzt fragt ab wo ist es denn kleiner als 1/100000, brauchst du wieder ne Antwort usw,. er kann jede Zahl sagen!
Und da es für wirklich JEDEZahl ein N geben muss rechnet man das meist aus der allgemeinen Zahl [mm] \varepsilon [/mm] aus statt speziell für 1/1000 oder 1/300.
meist ist es leichter aus der ungleichung [mm] |an|<\varepsilon [/mm] ein N auszurechnen.
z.Bsp, [mm] an=1/\wurzel{n} [/mm] Behauptung konvergiert mit GW 0
also suchst du ein N für [mm] |1/\wurzel{n}|<\varepsilon
[/mm]
also [mm] (1/\wurzel{n})^2<\varepsilon^2 [/mm] d.h. [mm] 1/n<\varepsilon^2 [/mm] oder [mm] n>1/\varepsilon^2 [/mm] also gibst du an : wenn [mm] n>N=[1/\varepsilon^2] [/mm] ( [] für nächste ganze Zahl) ist dann gilt: [mm] |1/\wurzel{n}|<\varepsilon
[/mm]
ähnlich gehts mit deiner Aufgabe!
Gruss leduart
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