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| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^{k}}{k^{2}}
[/mm]
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Hallo, brauche dringend Hilfe. Ich habe hier schon sehr sehr lange nicht mehr gepostet, da ich in den letzten Monaten sehr gut klar gekommen bin, aber hier komme ich einfach nicht mit klar. Und das schlimme ist das ich morgen mit Vortragen dran bin.ich hoffe mir kann jemand auf die schnelle Helfen. ich verstehe die Aufgabe absolut nicht. Danke schon mal vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 09.11.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
I denke du weißt, dass es sich hier um eine Potenzreihe handelt!?
Nun gut, für diese gilt, dass sie für |x|<R konvergieren (absolut und gleichmäßig) und für |x|>R divergieren. Hier ist R der sogenannte Konvergenzradius und es gilt:
[mm] R=limsup_{k\rightarrow \infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{k^{2}}}^{-1} [/mm] in diesem Fall!
Also, schauen wir uns an was passiert:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{k^{2}}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[k]{k}\wurzel[k]{k}}=1 [/mm]
da [mm] \wurzel[k]{k} [/mm] gegen 1 geht für k gegen Unendlich. Nun ist [mm] 1^{1}=1 [/mm] woraus folgt:
[mm] R=limsup_{k\rightarrow \infty}\wurzel[k]{\bruch{1}{k^{2}}}^{-1}=1
[/mm]
was bedeutet: |x|<1 Reihe konvergent, |x|>1 Reihe divergent.
Für x=1 kannst dus ja mal probieren.
Alles klar soweit? Ich hoffe ja, denn so ganz ohne Grundlagen lässt sich das nicht verstehen!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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hey,danke also das habe ich verstanden. muss ich das noch für x=1 zeigen oder nicht? also ich würde sagen das wenn x=1 ist die reihe konvergiert oder?ich wüsste aber nicht wie ich das aufschreiben soll.kannst du mir da nochmal helfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Do 09.11.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Du hast recht... Sie konvergiert für x=1. Das zeigst du z.B. so:
Für x=1 wird die Reihe ja zu
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{1}{k^{2}}}
[/mm]
Und hier kannst mit Hilfe der Konvergenzkriterien (z.B. Wurzel- oder Quotientenkriterium) zeigen, dass sie konvergiert!
Weißt du wie das geht?
Lg, Kübi
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naja kennen ist zuviel gesagt. unser prof hat die definitionen heute dazu angeschrieben aber noch nicht wie man das rechnet, nur das man damit die absolute konvergenz und so zeigen kann. kannst du mir zeigen wie das geht?wäre echt nett. natürlich nur wenn du zeit und lust hast
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Do 09.11.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Also, Grundsätzliches hier zu zeigen, würde den Rahmen sprengen! Ich zeigs dir mal an einem Beispiel (das aber keinen Anspruch auf Vollständigkeit erhebt!).
Es ist das allgemeine Glied der Reihe ja [mm] a_{k}=\bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
Nun machst du folgendes:
[mm] \vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}}
[/mm]
Nun betrachte den Limes dieses Ausdruckes für k gegen Unendlich! Also
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\vmat{\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}}
[/mm]
Ist dieser Limes kleiner 1, ist die Reihe konvergent, ist er größer 1, divergent.
Alles klar soweit? Dieser Trick rührt vom Quotientenkriterium her! Ich hoffe du wirst das noch sehen, sonst hat das ganze wenig Sinn!
Schau dann mal obs klappt...
Lg, Kübi
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hey. habs mal versucht:
also dann habe ich da stehen:
[mm] |\bruch{\bruch{1}{k^{2}+1}}{\bruch{1}{k^{2}}}| [/mm] = [mm] |\bruch{k^{2}}{k^{2}+1}| [/mm] und ab hier komm ich nicht mehr weiter. kannst du mir das nicht mal an diesem beispiel erklären.wäre echt nett
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:13 Fr 10.11.2006 | | Autor: | chilavert |
kann mir noch jemand helfen?muss das morgen früh vortragen! bitte bitte. ich verzweifel gerade
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Fr 10.11.2006 | | Autor: | chilavert |
kann mir noch jemand helfen? bitte ! ich muss das gleich vorstellen! ist echt wichtig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
Wurzel- und Quotientenkriterum versagen hier, weil der Grenzwert immmer 1 ergibt.
Aber man kann eine konvergente Majorante konstruueren.
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{1}{k^{2}}}\le{1}+\br{1}{2^2}+\br{1}{2^2}+\br{1}{4^2}+\br{1}{4^2}+\br{1}{4^2}+\br{1}{4^2}+\br{1}{8^2}+...
[/mm]
also
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{1}{k^{2}}}\le{1}+\br{2}{2^2}+\br{4}{4^2}+\br{8}{8^2}+\br{16}{16^2}+...
[/mm]
Rechts steht jetzt eine konvergente geometrieche Reihe mit Grenzwert [mm] \br{1}{1-\br{1}{2}}=2
[/mm]
mfg ullim
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@ullim
also, kann ich dann sagen, dass [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] gegen zwei konvergiert?oder was kann ich daraus schließen?
muss ich das alles auch noch für -1 machen? wenn ja wie geht das denn?wäre echt nicht wenn du mir helfen könntest. ist echt dringend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
nein, die Reihe konvergiert nicht gegen 2. Es gibt nur eine konvergente Majorante zu der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{1}{k^{2}}}. [/mm] Daraus folgt das [mm] \summe_{i=1}^{\infty}{\bruch{1}{k^{2}}} [/mm] auch konvergent ist.
Über den konkreten Grenzwert sagt das Majorantenkriterium nichts aus.
Ja, Du hast Recht, für x=-1 muss man auch noch die Konvergenz untersuchen. Für x=-1 entsteht eine alternierende Reihe die aber konvergent ist, weil die absolut Beträge der Reihe gegen Null konvergieren (Leibnitz Kriterium).
mfg ullim
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@ullim
axo,also konvergiert die konvergente majorante gegen 2 und da die konvergiert konvergiert auch meins?
muss ich das mit dem -1 noch irgendwie darstellen oder kann ich das so schreiben?wenn nciht wäre echt nett wenn du mir noch aufschreiben könntest, wie ich das dann aufschreiben muss.wäre echt klasse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Fr 10.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
Für x=-1 muss die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k}}{k^{2}} [/mm] untersucht werden.
Wegen dem Term [mm] (-1)^k [/mm] ist es eine alternierende Reihe und es gilt
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{1}{k^2}=0
[/mm]
Also ist die Reihe nach dem Leibnitzkriterium konvergent. Das müsste reichen.
mfg ullim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo chilavert,
ich hab jetzt nicht den ganzen Verlauf dieser Diskussion verfolgt, aber zu deiner Frage muss dir sagen, dass das Quotientenkriterium bei dieser Reihe versagt.
Nimm das Majorantenkriterium mit [mm] \bruch{1}{n(n+1)} [/mm] dieses konvergiert gegen 1, denn [mm] \bruch{1}{n(n+1)}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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