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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | | Konvergiert [mm] \sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} [/mm] |
Hoi.
Nullfolge ist es ja. [mm] \lim a_n [/mm] =0
Aber es muss ja auch monoton fallend sein. Seite ich jetzt einfach n+1 ein?
[mm] \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} [/mm] < [mm] \frac{(n+1+1)^{n+1-1}}{(n+1)^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}}
[/mm]
Oder zeigt man die monoton fallende Nullfolge anders?
Gruß, Wehm
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> Konvergiert
> [mm]\sum^{\infty}_{n=1}(-1)^n\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}[/mm]
> Nullfolge ist es ja. [mm]\lim a_n[/mm] =0
>
> Aber es muss ja auch monoton fallend sein.
Hallo,
das Antworten wäre etwas leichter, wenn Du Dich genauer ausdrücken würdest.
Was meinst Du hier mit "es"?
Na gut, ich vermute, daß Du mit "es" die Folge [mm] (\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}) [/mm] meinst, und daß Du das Leibniz-Kriterium verwenden möchtest, weil Du es hier mit einer alternierenden Reihe zu tun hast. (Solche Pläne solltest Du in Zukunft ruhig verraten: erstens muß man dann nicht so viel nachdenken, und zweitens ist es eine gute Übung und Kontrolle für Dich selber - und in Hausübungen und Klausuren muß es auch dastehen...)
> Nullfolge ist es ja. [mm]\lim a_n[/mm] =0
Ja, [mm] (\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}) [/mm] ist eine Nullfolge. Wie hast Du das gesehen? (Ich finde nicht, daß man es gleich auf den ersten Blick sieht.)
>
> Aber es muss ja auch monoton fallend sein. Seite ich jetzt
> einfach n+1 ein?
>
> $ [mm] \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n} [/mm] $ < $
> [mm] \frac{(n+1+1)^{n+1-1}}{(n+1)^{n+1}} [/mm] $ = $
> [mm] \frac{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}} [/mm] $
>
> Oder zeigt man die monoton fallende Nullfolge anders?
Ja. Wenn Du nämlich das zeigst, was Du aufgeschrieben hast, zeigst Du, daß die besagte Folge monoton wächst.
Du mußt also das Gegenteil zeigen,
[mm] \frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}>\frac{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mi 14.03.2007 | | Autor: | Wehm |
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> > Nullfolge ist es ja. [mm]\lim a_n[/mm] =0
> >
> > Aber es muss ja auch monoton fallend sein.
> das Antworten wäre etwas leichter, wenn Du Dich genauer
> ausdrücken würdest.
> Was meinst Du hier mit "es"?
>
> Na gut, ich vermute, daß Du mit "es" die Folge
> [mm](\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n})[/mm] meinst, und daß Du das
Das hast Du gut erkannt.
> Leibniz-Kriterium verwenden möchtest, weil Du es hier mit
> einer alternierenden Reihe zu tun hast. (Solche Pläne
> solltest Du in Zukunft ruhig verraten: erstens muß man dann
> nicht so viel nachdenken, und zweitens ist es eine gute
> Übung und Kontrolle für Dich selber - und in Hausübungen
> und Klausuren muß es auch dastehen...)
Mit Namen kenne ich diese Verfahren überhaupt nicht. Aber in Zukunft versuche ich es.
> > Nullfolge ist es ja. [mm]\lim a_n[/mm] =0
>
> Ja, [mm](\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n})[/mm] ist eine Nullfolge. Wie hast
> Du das gesehen? (Ich finde nicht, daß man es gleich auf den
> ersten Blick sieht.)
Wie zeigt man das denn? Ich dachte, weil n>n-1 als Exponent ist gilt sofort dass der nenner überwiegt.
> >
> > Aber es muss ja auch monoton fallend sein. Seite ich jetzt
> > einfach n+1 ein?
> >
> > $ [mm]\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}[/mm] $ < $
> > [mm]\frac{(n+1+1)^{n+1-1}}{(n+1)^{n+1}}[/mm] [mm]=[/mm]
> > [mm]\frac{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}}[/mm] $
> >
> > Oder zeigt man die monoton fallende Nullfolge anders?
>
> Ja. Wenn Du nämlich das zeigst, was Du aufgeschrieben hast,
> zeigst Du, daß die besagte Folge monoton wächst.
>
> Du mußt also das Gegenteil zeigen,
>
> [mm]\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}>\frac{(n+2)^{n}}{(n+1)^{n+1}}.[/mm]
Gruß, Wehm
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Hallo Wehm,
eine Idee zur Monotonie:
anstatt [mm] a_{n+1}-a_n\le0 [/mm] kannst du alternativ zeigen: [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}\le1, [/mm] denn
[mm] a_{n+1}-a_n\le0\gdw a_{n+1}\le a_n \gdw \bruch{a_{n+1}}{a_n}\le1 [/mm] , denn [mm] a_n\ne0 [/mm] für alle n
also:
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=\bruch{\bruch{(n+2)^n}{(n+1)^{n+1}}}{\bruch{(n+1)^{n-1}}{n^n}}=\bruch{(n+2)^n\cdot{}n^n}{(n+1)^{n+1}\cdot{}(n+1)^{n-1}}=\bruch{\left((n+2)\cdot{}n\right)^n}{(n+1)^{2n}}=\bruch{(n^2+2n)^n}{\left[(n+1)^2\right]^n}=\bruch{(n^2+2n)^n}{(n^2+2n+1)^n}\le1
[/mm]
also, ist [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine monoton fallende Folge
Gruß
schachuzipus
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> Mit Namen kenne ich diese Verfahren überhaupt nicht. Aber
> in Zukunft versuche ich es.
Hallo,
ja, das solltest Du tun, denn es gibt ein paar Dinge, die sind so bekannt und gebräuchlich, daß man ihren Namen kennen muß, und dazu gehören die Konvergenzkriterien wie Leibniz- und Majorantenkriterium.
Klar, wenn man den Inhalt kennt, kann man das auch anwenden, ohne den Namen zu wissen - die Verständigung mit "Fachkollegen" wird vereinfacht durch Verwendung der entsprechenden Fachsprache, nicht nur in der Mathematik.
Ein anderer, im Moment wahrscheinlich wichtigerer Aspekt: falls Du zu einer Prüfung marschieren mußt, wollen die vermutlich auch, daß Du es weißt.
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> > > Nullfolge ist es ja. [mm]\lim a_n[/mm] =0
> >
> > Ja, [mm](\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n})[/mm] ist eine Nullfolge. Wie hast
> > Du das gesehen? (Ich finde nicht, daß man es gleich auf den
> > ersten Blick sieht.)
>
> Wie zeigt man das denn? Ich dachte, weil n>n-1 als Exponent
> ist gilt sofort dass der nenner überwiegt.
Das würde mich noch nicht überzeugen: zwar ist der Exponent im Nenner kleiner, aber die Basis ist doch im Nenner größer.
Ich würde so argumentieren:
[mm] (\frac{(n+1)^{n-1}}{n^n}) =(\frac{(n+1)^{n}}{n^n})*\bruch{1}{n+1}=(\frac{n+1}{n})^n*\bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n})^n\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Für n--> [mm] \infty [/mm] geht der erste Term gegen e, der zweite gegen 0, das Produkt also gegen 0.
Gruß v. Angela
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