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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:56 Do 19.04.2007 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Bestimme alle [mm] z\in\IC, [/mm] für die die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n} [/mm] konvergiert. |
Hallo, ich weiß leider so gar nicht, wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich weiß lediglich dank Mathematica, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^n}{n}=-Log(1-z) [/mm] ist.
Kann mir jemand helfen? (Ich habe diese Frage nirgendwo sonst gestellt.)
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Hallo MasterEd,
du hast ja eine Potenzreihe gegeben, da gibts das Kriterium von Cauchy-Hadamard.
Bestimme [mm] $r=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n}\right|}$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $R=\frac{1}{r}$ [/mm] dh. die Potenzreihe konvergiert für $|z|<R$ und divergiert für $|z|>R$
Für $|z|=R$ , also auf dem Rand des Konvergenzkreises musst du dann noch "manuell" das Konvergenzverhalten überprüfen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Do 19.04.2007 | | Autor: | MasterEd |
| Aufgabe | | Vielen Dank für Deine schnelle Antwort. Ich habe den Grenzwert $r=1$ berechnet. Also ist der Konvergenzradius $R=1/r=1/1=1$, richtig? |
Du hast geschrieben "die Potenzreihe konvergiert für $|z|<R$", woher kommt das $z$, also wie weiß man das? Und viel wichtiger noch: Du hast geschrieben, der Betrag von $z$ muss kleiner als $R$ sein, damit die Reihe konvergiert.
Sei nun $z=a+b*i$ die komplexe Zahl. Dann ist doch [mm] $|z|=\wurzel{a^2+b^2}$ [/mm] und damit muss [mm] $\wurzel{a^2+b^2}<1$ [/mm] gelten für den Konvergenzfall, oder?
Daraus könnte man ja folgern [mm] $a^2+b^2<1$. [/mm] Sind das dann (anschaulich) alle komplexen Zahlen, die in der Gauß'schen Zahlenebene innerhalb eines Kreises mit dem Radius $R=1$ um den "Ursprung" liegen?
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Hi,
jo geometrisch bedeutet das, dass die Reihe im Inneren des Einheitskreises konvergiert und außerhalb divergiert.
Wie es aber auf dem Rand aussieht, also für $|z|=1$, das musst du noch nachprüfen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 So 22.04.2007 | | Autor: | Jenny85 |
| Aufgabe | | Konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}z^n [/mm] |
Hallo!
Wir haben breits wie beschrieben gezeigt, dass [mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n}z^n [/mm] für Betrag von z kleiner eins konvergiert und größer eins divergiert.
Wir wissen jetzt nur nicht, wie wir "manuell" zeigen sollen, ob die Reihe für Betrag von z gleich eins divergiert oder konvergiert.
Würde mich über Hilfe sehr freuen!!!
Mit Freundlichen Grüßen
Jenny
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Hallo Jenny,
ich fürchte, so allgemein kann man das in [mm] $\IC$ [/mm] gar nicht zeigen, da
doch ein paar mehr Punkte (unendlich viele) auf dem Kreisrand liegen.
Was man sagen kann, ist, dass es auf dem Kreisrand Punkte gibt, für die die Reihe konvergiert und welche, für die die Reihe divergiert.
Nimm zB. die Punkte [mm] $z_1=1(=1+0\cdot{}i)$ [/mm] und [mm] $z_2=-1(=-1+0\cdot{}i)$ [/mm] also [mm] $|z_1|=|z_2|=1$
[/mm]
Dann hast du einmal die harmonische Reihe - divergent und für [mm] $z_2$ [/mm] die alternierende harmonische Reihe - konvergent.
Gruß
schachuzipus
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