Konvergenz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Do 17.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit Hilfe der Definition, dass die unten angegebenen Folgen konvergieren und geben Sie den Grenzwert an.
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{4}{n^4 +1} [/mm] , n [mm] \in \IN [/mm] |
Hallo zusammen!
Hat jemand einen kleinen Tip parat? Die Folge hat offensichtlich den Grenzwert 0 und konvergiert deshalb ja auch...
Aber wie soll ich das jetzt aufschreiben?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4}{n^4 +1} [/mm] -> 0
Das könnte man doch abschätzen mit > [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] und wenn das gegen 0 konvergiert - was es ja tut - dann der Rest ja auch...???
Ich schreibs mal auf:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4}{n^4 +1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] = [mm] 4n^4 [/mm] > [mm] n^4 [/mm] +1 <=> [mm] 3n^4 [/mm] > 1 <=> [mm] n^4 [/mm] > [mm] \bruch{1}{3} [/mm] -> 0 (n -> [mm] \infty)
[/mm]
Bitte um Hilfe...
Danke
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bodo,
ja das kannste nach Schema abschätzen.
Sei $\varepsilon >0$. Wähle $N>\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}$
Dann gilt für alle $n>N$:
$\left|\frac{4}{n^2+1}-0\right|=\left|\frac{4}{n^2+1}\right|=\frac{4}{n^2+1}<\frac{4}{n^2}<\frac{4}{N^2}<\frac{4}{\left(\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}\right)^2}=\varepsilon$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Do 17.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo,
>
> ja das kannste nach Schema abschätzen.
>
> Sei [mm]\varepsilon >0[/mm]. Wähle [mm]N>\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}[/mm]
>
> Dann gilt für alle [mm]n>N[/mm]:
>
> [mm]\left|\frac{4}{n^2+1}-0\right|=\left|\frac{4}{n^2+1}\right|=\frac{4}{n^2+1}<\frac{4}{n^2}<\frac{4}{N^2}<\frac{4}{\left(\frac{2}{\sqrt{\varepsilon}}\right)^2}=\varepsilon[/mm]
Hast du nicht einen kleinen Fehler in deiner Rechnung?
Statt [mm] n^2 [/mm] sollte doch eigentlich [mm] n^4 [/mm] da stehn, oder?
Wenn ich das jetzt ausbessere und deinen Teil für die Konvergenz nach Definition und meinen Teil für den Grenzwerte nehme, dürfte die Aufgabe doch gelöst sein, oder?
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Hi,
> Hast du nicht einen kleinen Fehler in deiner Rechnung?
> Statt [mm]n^2[/mm] sollte doch eigentlich [mm]n^4[/mm] da stehn, oder?
jo übersehen  ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
>
> Wenn ich das jetzt ausbessere und deinen Teil für die
> Konvergenz nach Definition und meinen Teil für den
> Grenzwerte nehme, dürfte die Aufgabe doch gelöst sein,
> oder?
jo, die Abschätzung bleibt dieselbe, du musst nur das $N$ anpassen, wähle [mm] $N>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[4]{\varepsilon}}$
[/mm]
schachuzipus
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Hi nochmal,
> offensichtlich den Grenzwert 0 und konvergiert deshalb ja
> auch... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber wie soll ich das jetzt aufschreiben?
Mit der [mm] \varepsilon [/mm] Geschichte
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{4}{n^4 +1}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{n^4}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das kann ja nicht sein, du hast doch richtig erkannt, dass 0 der GW ist, wie kann das denn [mm] >\frac{1}{n^4} [/mm] sein?
[mm] \frac{1}{n^4} [/mm] ist doch immer positiv, es strebt nur für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] gegen 0, aber es ist und bleibt positiv
Du musst die formale Abschätzung [mm] |a_n-GW|<\varepsilon [/mm] nehmen als Beweis (s. anderen post)
Gruß
schachuzipus
>
> Bitte um Hilfe...
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Do 17.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Ok, danke für deinen Beitrag 
Hätte da aber noch eine letzte Aufgabe wo ich mir nicht sicher bin ob ich den Beweis so richtig geführt habe, wäre gut, wenn du auch mal drüber schauen könntest...
[mm] b_{n}:= \bruch{2}{2n^2-1} [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
Wähle N= [mm] \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}} [/mm] für alle n > N
[mm] |(\bruch{2}{2n^2-1} [/mm] - 0)| = [mm] |(\bruch{2}{2n^2-1})| [/mm] = [mm] \bruch{2}{2n^2-1} \gdw [/mm]
[mm] \bruch{1}{n^2-0,5} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{N^2} [/mm] > [mm] \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right)^2} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
Danke schonmal im voraus...
Grüße
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Hallo Bodo,
> Ok, danke für deinen Beitrag
>
> Hätte da aber noch eine letzte Aufgabe wo ich mir nicht
> sicher bin ob ich den Beweis so richtig geführt habe, wäre
> gut, wenn du auch mal drüber schauen könntest...
>
> [mm]b_{n}:= \bruch{2}{2n^2-1}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Wähle N= [mm]\bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}[/mm] für alle n > N
>
> [mm]|(\bruch{2}{2n^2-1}[/mm] - 0)| = [mm]|(\bruch{2}{2n^2-1})|[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{2n^2-1} \gdw[/mm]
> [mm]\bruch{1}{n^2-0,5}[/mm] > [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] > [mm]\bruch{1}{N^2}[/mm] >
> [mm]\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right)^2}[/mm] =
> [mm]\varepsilon[/mm]
??? Du musst das doch genau in die andere Richtung abschätzen. Du willst ja die Differenz aus Folgenglied und GW KLEINER als jedes [mm] \varepsilon [/mm] kriegen
>
> Danke schonmal im voraus...
>
> Grüße
Für die Abschätung nach oben hin kannst du den Zähler vergrößern und/oder den Nenner verkleinern, schätze also in die andere Richtung ab: [mm] $|b_n-GW|<...<...<...<\varepsilon$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Do 17.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
> Hallo Bodo,
>
> > Ok, danke für deinen Beitrag
> >
> > Hätte da aber noch eine letzte Aufgabe wo ich mir nicht
> > sicher bin ob ich den Beweis so richtig geführt habe, wäre
> > gut, wenn du auch mal drüber schauen könntest...
> >
> > [mm]b_{n}:= \bruch{2}{2n^2-1}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> > Wähle N= [mm]\bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}[/mm] für alle n > N
> >
> > [mm]|(\bruch{2}{2n^2-1}[/mm] - 0)| = [mm]|(\bruch{2}{2n^2-1})|[/mm] = [mm]\bruch{2}{2n^2-1} \gdw[/mm] [mm]\bruch{1}{n^2-0,5}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n^2-1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{N^2-1}[/mm] < [mm]\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right)^2 -1} [/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
Ich habs mal ein wenig umgeschrieben... Ich find doch sehr komisch...
Nochmal zur ersten Aufgabe... war da die Grenzwert betrachtung mit der Abschätzung > [mm] \bruch{1}{n^4} [/mm] falsch?
> Für die Abschätung nach oben hin kannst du den Zähler
> vergrößern und/oder den Nenner verkleinern, schätze also in
> die andere Richtung ab: [mm]|b_n-GW|<...<...<...<\varepsilon[/mm]
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Bodo,
schon besser, aber der Schluss passt noch nicht,
also bis hierhin stimmt's: $....<\frac{1}{n^2-1}$
Daraus konstruieren wir mal unser $N$:
Es soll $\frac{1}{n^2-1}<\varepsilon$ sein
also Kehrbruch auf beiden Seiten und Ungleichungszeichen umdrehen
$\Rightarrow n^2-1\red{>}\frac{1}{\varepsilon}\Rightarrow n^2>\frac{1}{\varepsilon}+1}\Rightarrow n>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1}$
wähle also $N>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1}$, dann kannst du die ganze Abschätzungskette hinschreiben, also,
sie $\varepsilon>0$, wähle $N>...$ Dann gilt für alle $n>N$:
Dann die Abschätzung
Zur anderen Frage: Ja das war falsch bei der ersten Aufgabe - du musst ebenfalls die Abschätzung mit dem Betrag machen - hatte ich aber oben auch erwähnt
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 17.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
[mm]b_{n}:= \bruch{2}{2n^2-1}[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
Wähle N= [mm]\bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}}[/mm] für alle n > N
Alte Version:
[mm]|(\bruch{2}{2n^2-1}[/mm] - 0)| = [mm]|(\bruch{2}{2n^2-1})|[/mm] = > [mm]\bruch{2}{2n^2-1} \gdw[/mm] [mm]\bruch{1}{n^2-0,5}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n^2-1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{N^2-1}[/mm] < [mm]\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right)^2 -1}[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
Neue Version:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und wähle [mm] N>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1} [/mm] für alle n > N
[mm]|(\bruch{2}{2n^2-1}[/mm] - 0)| = [mm]|(\bruch{2}{2n^2-1})|[/mm] = > [mm]\bruch{2}{2n^2-1} \gdw[/mm] [mm]\bruch{1}{n^2-0,5}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n^2-1}[/mm] .....
[mm] N > \bruch{1}{n^2-1} [/mm]-> [mm] n^2 -1 > \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] =[mm] n^2 > \bruch{1}{\varepsilon} +1 [/mm] =[mm] n > \sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1} [/mm]
..... < [mm] \bruch{1}{N^2-1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}+1}-1} [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
hier den Wurzelwert in Klammern denken und [mm] ()^2 [/mm] ...
Kann man das jetzt so schreiben? Ich habe den Beweis bei ..... unterbrochen und der geht dann weiter nach ..... könnte ich den so zusammen (also ohne den Zwischenschritt wo N hergeleitet wurde) aufschreiben???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Do 17.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
also so hatte ich mir das eigentlich auch gedacht
Danke!
Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Bei einer anderen Aufgabe habe ich auch noch Zweifel ob das so richtig ist.
Aufgabenstellung: Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.
[mm] d_{n} [/mm] := [mm] \sqrt{n+4} [/mm] - [mm] \sqrt{n+2} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n+4} [/mm] - [mm] \sqrt{n+2} [/mm] = [mm] \sqrt{5} [/mm] - [mm] \sqrt{3} [/mm] + [mm] \sqrt{6} [/mm] - [mm] \sqrt{4} [/mm] + [mm] \sqrt{7} [/mm] - [mm] \sqrt{5} [/mm] + ... [mm] +\sqrt{k+4} [/mm] - [mm] \sqrt{k+2} [/mm] = [mm] \sqrt{k+2} [/mm] - [mm] \sqrt{k} [/mm] -> 0 (n -> [mm] \infty)
[/mm]
Die Rechnung ist so ausgelegt, dass ich immer die Wurzelwerte um 1 erhöhe..., irgendwann heben die sich dann wieder auf... (Bsp. bei [mm] \sqrt{5} [/mm] etc...)
Hier konvergieren die beiden Wurzelwerte für sich gesehen ( [mm] \sqrt{k+2} [/mm] - [mm] \sqrt{k} [/mm] ) gegen 1!
Insgesamt aber gegen 0.
Kann man das 1. so stehen lassen und 2. so begründen?
Vielen Dank und Grüße
Bodo0686
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> [mm]d_{n}[/mm] := [mm]\sqrt{n+4}[/mm] - [mm]\sqrt{n+2}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n+4}[/mm] - [mm]\sqrt{n+2}[/mm] =
> [mm]\sqrt{5}[/mm] - [mm]\sqrt{3}[/mm] + [mm]\sqrt{6}[/mm] - [mm]\sqrt{4}[/mm] + [mm]\sqrt{7}[/mm] -
> [mm]\sqrt{5}[/mm] + ... [mm]+\sqrt{k+4}[/mm] - [mm]\sqrt{k+2}[/mm] = [mm]\sqrt{k+2}[/mm] -
> [mm]\sqrt{k}[/mm] -> 0 (n -> [mm]\infty)[/mm]
Deine Gleichung stimmt nicht, da es ja für jedes n [mm] \in \IN [/mm] nur EINE Differenz gibt und nicht so eine Kette, wie du sie hingeschrieben hast. d.h. für n=1000 steht da z.B.
[mm]d_{1000} = \sqrt{1004} - \sqrt{1002}[/mm] und nix mit [mm] \sqrt{5}.
[/mm]
> Hier konvergieren die beiden Wurzelwerte für sich gesehen (
> [mm]\sqrt{k+2}[/mm] - [mm]\sqrt{k}[/mm] ) gegen 1!
> Insgesamt aber gegen 0.
Die Konvergieren leider nicht gegen 1, sondern gegen [mm] \infty, [/mm] da [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\sqrt{k} = \infty[/mm]
> Kann man das 1. so stehen lassen und 2. so begründen?
Nein
Ich zeigs dir mal wie du es machen könntest (sofern du es nicht über die Definition machen sollst).
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \sqrt{n+4} - \sqrt{n+2} = \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\sqrt{n+4} + \sqrt{n+2})(\sqrt{n+4} - \sqrt{n+2})}{(\sqrt{n+4} + \sqrt{n+2})}[/mm]
[mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(n+4) - (n+2)}{(\sqrt{n+4} + \sqrt{n+2})} = \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{{(\sqrt{n+4} + \sqrt{n+2})}[/mm]
Ok, wir wir nun schon festgestellt haben, gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt{n} [/mm] = [mm] \infty, [/mm] somit gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{(\sqrt{n+4} + \sqrt{n+2})} = [\bruch{2}{\infty}] = 0[/mm]
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 18.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Dank dir!
Also kann man bei solcher Art von Aufgaben, immer das ganze erweitern?
Gruß
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Hallo Bodo,
immer würde ich nicht sagen, aber es empfiehlt sich oft, durch Erweitern die 3. bin. Formel hinzubasteln, um die Differenz der Wurzeln wegzuhauen.
Das ist quasi ein "Standardtrick" - wenn man es so nennen will
Es lohnt sich halt oft, Aufgaben diesen Typs so anzugehen,
und es so auszuprobieren, schadet ja nix
Es wird nicht immer helfen, aber oft
LG
schachuzipus
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
