Konvergenz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 So 02.09.2007 | | Autor: | anet |
Hallo
Ich komme hier bei einer Grenzwertaufgabe nicht mehr weiter:
Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}
[/mm]
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+5} [/mm] - [mm] \wurzel{n}
[/mm]
Ich habe versucht, den Ausdruck (wie in diesem https://matheraum.de/read?t=293599 Thread beschrieben)
zu einer Binomischen Formel zu erweitern, erhalte dann jedoch den Wert [mm] \bruch{c}{0}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 02.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
da gibt es einen "Trick":
Du hast die Folge [mm] a_n=\wurzel{n+5}-\wurzel{n}
[/mm]
Jetzt erweiterst du mit [mm] (\wurzel{n+5}+\wurzel{n})
[/mm]
Dann erhälst du:
[mm] a_n=\bruch{(\wurzel{n+5}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+5}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}=\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}= \bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} \to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty
[/mm]
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:26 So 02.09.2007 | | Autor: | anet |
[mm]a_n=\bruch{(\wurzel{n+5}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+5}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}=\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}= \bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}} \to[/mm]
> 0 für [mm]n\to\infty[/mm]
Dann lösen sich die Terme ... + [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n+5} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+5} [/mm] ... im Zähler gegenseitig auf.. Alles klar!
Danke vielmals
anet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 So 02.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
ja, ich weiß nach deiner Darstellung nicht ganz, ob du das mit dem Kürzen richtig verstanden hast?
Zur Sicherheit:
Ein weiterer Zwischenschritt.
[mm] \bruch{(\wurzel{n+5}-\wurzel{n})\cdot{}(\wurzel{n+5}+\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{n+5}*\wurzel{n+5}+\wurzel{n+5}*\wurzel{n}-\wurzel{n}*\wurzel{n+5}-\wurzel{n}*\wurzel{n})}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(\wurzel{n+5}^2+\red{\wurzel{n+5}*\wurzel{n}-\wurzel{n}*\wurzel{n+5}}-\wurzel{n}^2)}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}
[/mm]
[mm] =\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}
[/mm]
Hoffe, dass es dir weiterhilft.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 So 02.09.2007 | | Autor: | anet |
[mm]=\bruch{(\wurzel{n+5}^2+\red{\wurzel{n+5}*\wurzel{n}-\wurzel{n}*\wurzel{n+5}}-\wurzel{n}^2)}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}[/mm]
>
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> [mm]=\bruch{n+5-n}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{5}{\wurzel{n+5}+\wurzel{n}}[/mm]
>
> Hoffe, dass es dir weiterhilft.
Genau das meinte ich.
Danke nochmals. Meine Algebrakenntnisse sind mit der Zeit leider ein wenig eingeschlafen.
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