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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Di 07.12.2004 | | Autor: | ocsw |
Hallo ich soll einige Reihen auf Konvergenz überprüfen!
Bräuchte mal dringend ein Lionk für die Definition, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Di 07.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo ocsw!
Du findest Wichtiges und Nützliches dazu in ![[]](/images/popup.gif) diesem Link.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Di 07.12.2004 | | Autor: | ocsw |
Ist aber nicht gerade verständlich.
Soll bei der ersten zum Beispiel auf Konvergenz prüfen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n / [mm] n^{n}
[/mm]
Kann mir da vielleicht jem. ein wenig helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Di 07.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
> Ist aber nicht gerade verständlich.
Warum das denn nicht? Ist doch Erstsemsterniveau... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Soll bei der ersten zum Beispiel auf Konvergenz prüfen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n / [mm]n^{n}
[/mm]
Es gilt:
$0 [mm] \le \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^n} [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n-1}} \le [/mm] 1 + [mm] \frac{1}{2} [/mm] + [mm] \sum\limits_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/mm] < [mm] \infty$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:17 Di 07.12.2004 | | Autor: | ocsw |
Und das war es dann schon? Na dann ist es ja wirklich leicht!
Aber wieso nur bis n=3?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Di 07.12.2004 | | Autor: | ocsw |
Entschuldigung, mir ist gerade auch aufgefallen, dass es [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] heißt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Gut, dann wenden wir eben das Quotientenkriterium an.
Es gilt:
[mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} [/mm] = [mm] \left( \frac{n}{n+1} \right)^n [/mm] = [mm] \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-n} [/mm] = [mm] \left[\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right]^{-1}$.
[/mm]
Wegen
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \left[\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right]^{-1} [/mm] = [mm] \left[ \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \right]^{-1} [/mm] = [mm] e^{-1} [/mm] < 1$
folgt die Konvergenz der Reihe.
Liebe Grüße
Julius
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