Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:12 Di 06.05.2008 | | Autor: | xMariex |
| Aufgabe | Für [mm]n \in \IN*[/mm] sei [mm]f_n:[0; \infty] \to \IR[/mm] [mm]f_n(x):= \bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]. Zeigen Sie:
a) [mm](f_n)_{n\in \IN*}[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen 0.
b) [mm]\integral_{0}^{\infty}{f_n(x)dx}[/mm] existiert für alle [mm]n\in \IN*[/mm] und es ist [mm]\lim_{n\to \infty} \integral_{0}^{\infty}{f_n(x)dx=1}[/mm]
Steht das im Widerspruch zu:
Seien [mm]a, b \in \IR, a
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Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt.
Hi,
ich hader irgendwie schon bei a:
gleichmäßig stetig heißt: Die Folge fn konvergiert gleichmäßig gegen f genau dann, wenn [mm]\lim_{n\to \infty}sup |f_n(x)-f(x)|[/mm]
d.h. es für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] eine natürliche Zahl N gibt, so dass [mm]x\in D[/mm] und alle [mm]n \ge N[/mm] gilt: [mm]|f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/mm]
[mm]f_n(x)=\bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]
[mm]|\bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}-0| = |\bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}| \le |\bruch{n^2x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}| = |x*e^{-\bruch{x}{n}}|[/mm]
Ja aber das reicht doch bestimmt nicht, oder?
Grüße,
Marie
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> Für [mm]n \in \IN*[/mm] sei [mm]f_n:[0; \infty] \to \IR[/mm] [mm]f_n(x):= \bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}[/mm].
> Zeigen Sie:
> a) [mm](f_n)_{n\in \IN*}[/mm] konvergiert gleichmäßig gegen 0.
> ich hader irgendwie schon bei a:
> gleichmäßig stetig heißt: Die Folge fn konvergiert
> gleichmäßig gegen f genau dann, wenn [mm]\lim_{n\to \infty}sup |f_n(x)-f(x)|[/mm]
>
> d.h. es für jedes [mm]\epsilon > 0[/mm] eine natürliche Zahl N gibt,
> so dass [mm]x\in D[/mm] und alle [mm]n \ge N[/mm] gilt:
> [mm]|f_n(x)-f(x)|<\epsilon[/mm]
> [mm]f_n(x)=\bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}[/mm]
> [mm]|\bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}-0| = |\bruch{x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}| \le |\bruch{n^2x}{n^2}*e^{-\bruch{x}{n}}| = |x*e^{-\bruch{x}{n}}|[/mm]
>
> Ja aber das reicht doch bestimmt nicht, oder?
Hallo,
nein, das reicht nicht, denn man sieht nichts.
Du interessierst Dich doch für [mm] \lim_{n\to \infty}sup |f_n(x)-f(x)|=\lim_{n\to \infty}sup |f_n(x)|.
[/mm]
Da wäre es doch nun naheliegend, erstmal sup [mm] |f_n(x)| [/mm] zu berechnen.
Mach das mal: guck nach, wo die Funktion [mm] f_n [/mm] ihren Extremwert hat, und wie der Funktionswert an dieser Stelle ist.
Plotte Dir ruhog auch mal ein paar Funktionen [mm] f_n, [/mm] damit Du merkst, wie die glm Konvergenz sich "anfühlt".
Gruß v. Angela
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