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| Aufgabe | Sind diese Reihen konvergent?
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] 1/n³
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} [/mm] (k!)² / (2k)!
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a) Mit dem Quotientenkrieterium komme ich auf:
a(n+1) / a(n) = n³ / (n+1)³ --> 1 , d. h. es gibt kein q [mm] \le [/mm] 1 < 0.
Jetzt muss ich wohl das Majoranten, Minorantenkriterium verwenden, versteh das aber leider nicht.
b) Quotienten-Kriterium:
a(n+1) / a(n) = [ ((k+1)!)² * (2k)! ] / [ (2k+2)! * (k!)² ]
Und da komm ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Morgenroth!
Verwende nun eine Eigenschaft der Fakultät:
$$(k+1)! \ = \ k!*(k+1)$$
$$(2k+2)! \ = \ (2k)!*(2k+1)*(2k+2)$$
Gruß
Loddar
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Danke.
Durch Ersetzen habe ich ja dann:
k! * (k+1) * k! * (k+1) * (2k)! /
(2k!) * (2k+1) * (2k+2) * k! * k!
= (k² + 2k + 1) * (2k)! /
(4k² + 4k + 2) * (2k!)
Und wie krieg ich nun die restlichen Fakultäten weg?
Bei der a) bräuchte ich bitte auch noch Hilfe.
Ich weiß, die Summe (1/k) konvergiert. Kann ich das dabei irgendwie anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Morgenroth!
Du musst in Zähler und Nenner jeweils [mm] $(2k)\red{!}$ [/mm] schreiben, dann kürzt sich dieser Term weg.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Morgenroth!
Zunächst einmal: [mm] $\summe\bruch{1}{k}$ [/mm] ist nicht konvergent!
Aber Du kannst hier zum Beispiel gegen die konvergierende Reihe [mm] $\summe\bruch{1}{k^{\red{2}}}$ [/mm] abschätzen.
Gruß
Loddar
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Warum kann ich (2k!) einfach mit (2k)! gleichsetzten, das ist doch nicht das gleiche, odeR?
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> Warum kann ich (2k!) einfach mit (2k)! gleichsetzten, das
> ist doch nicht das gleiche, odeR?
Hallo,
nein, gleich ist das nicht.
Loddar wollte Dir sagen, daß Du
(2k+2)! verkehrt zu
>>> (2k!) * (2k+1) * (2k+2)
umgeformt hast.
Wenn Du das richtig machst, hast Du kein Problem mehr mit Fakultäten.
Es ist doch [mm] \underbrace{(2k+2)!=1*2*...*(???)}_{= ? }*(2k+1) [/mm] * (2k+2)
Gruß v. Angela
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Also ich habe ich:
k! * (k+1) * k! * (k+1) * (2k)! /
(2k)! * (2k+1) * (2k+2) * k! * k!
= k² + 2k + 1 /
4k² + 4k + 2
= 1 + 2/k + 1/k² / 4 + 4/k + 2/k² --> konvergiert gg. 1/4 = q
0 < 1/4=q < 1, alos konvergiert die Reihe.
Ist 1/4 dann automatisch der Grenzwert dieser Reihe, oder kann man damit nur bestimmen, dass die Reihe überhuapt konvergiert?
Nochmal zu a):
b(k) = Summe 1/k² konvergiert.
Wie schreibe ich das dann auf?
a(k) = Summe 1/k²*k konvergiert dann auch, da
0<=a(k)<=b(k)
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