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| Aufgabe 1 | $ [mm] a_{n+1}= [/mm] 1 + 1 / [mm] a_{n} [/mm] $ wobei $ n [mm] \in \IN [/mm] $ und $ [mm] a_{0}= [/mm] 1/2 $
Zeige das die oben rekursiv definierte Folge konvergiert gegen $ (1 + sqrt{5})/5 $. |
| Aufgabe 2 | $ [mm] z_{n}= (2-z_{n-1})*z_{n-1} [/mm] $ wobei $ n [mm] \in \IN [/mm] $ und $ [mm] z_{0}= [/mm] 1/2 $
Zeige das die oben rekursiv definierte Folge gilt: $ 0 < [mm] z_{n}<1 [/mm] $ und monoton wachsend. (also konvergent) |
Hallo
Bei der ersten Aufgabe ich folgendes vermutung herausbekommen.
$ [mm] a_0 \le a_2 \le a_4 \le [/mm] ... [mm] a_{2*k} \le a_{2*k+2} [/mm] $ und
$ [mm] a_{2*k + 3} \le a_{2*k+1} a_5 \le a_3 \le a_1 [/mm] $ für $ [mm] \forall [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] $
Leider kann ich diese Vermutung nicht mittels Voll. Induktion beweisen.
Bei der zweiten will mir leider nichts gelingen, ich hoffe ihr habt ein paar Tipps.
Danke freshstyle
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Hallo Dennis,
> [mm]a_{n+1}= 1 + 1 / a_{n}[/mm] wobei [mm]n \in \IN[/mm] und [mm]a_{0}= 1/2[/mm]
> Zeige das die oben rekursiv definierte Folge konvergiert
> gegen [mm](1 + sqrt{5})/5 [/mm].
> [mm]z_{n}= (2-z_{n-1})*z_{n-1}[/mm] wobei [mm]n \in \IN[/mm]
> und [mm]z_{0}= 1/2[/mm]
> Zeige das die oben rekursiv definierte Folge gilt: [mm]0 < z_{n}<1[/mm]
> und monoton wachsend. (also konvergent)
> Hallo
> Bei der ersten Aufgabe ich folgendes vermutung
> herausbekommen.
> [mm]a_0 \le a_2 \le a_4 \le ... a_{2*k} \le a_{2*k+2}[/mm] und
> [mm]a_{2*k + 3} \le a_{2*k+1} a_5 \le a_3 \le a_1 [/mm] für
> [mm]\forall k \in \IN[/mm]
>
> Leider kann ich diese Vermutung nicht mittels Voll.
> Induktion beweisen.
> Bei der zweiten will mir leider nichts gelingen, ich hoffe
> ihr habt ein paar Tipps.
Wenn du gezeigt hast, dass [mm] $\foall n\in\IN: [/mm] \ [mm] 0
Dann habe ich mal ein bissl rumprobiert an der Induktion für [mm] $0
(1) [mm] $z_n>0$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
(2) [mm] $z_n<1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$
[/mm]
Dabei ist (2) doch ziemlich simpel, oder?
IA ist klar, IS [mm] $n\to [/mm] n+1$
IV: [mm] $0
Dann ist zz: [mm] $z_{n+1}<1$
[/mm]
[mm] $\gdw (2-z_n)z_n<1$
[/mm]
[mm] $\gdw -z_n^2+2z_n<1$
[/mm]
[mm] $\gdw 0
[mm] $\gdw 0<(z_n-1)^2$
[/mm]
was offensichtlich wegen der IV [mm] ($0
(2)
IA ist wieder klar, IV wie oben
Dann ist zz: [mm] $z_{n+1}>0$
[/mm]
[mm] $\gdw -z_n^2+2z_n>0$
[/mm]
[mm] $\gdw 0>z_n^2-2z_n$
[/mm]
[mm] $\gdw 0>z_n^2-2z_n\blue{+1-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw 0>(z_n-1)^2-1$
[/mm]
Das ist offensichtlich wahr, denn [mm] $z_n-1$ [/mm] ist aus dem offenen Intervall $(-1,0)$ (wegen der IV) und damit [mm] $(z_n-1)^2<1$, [/mm] also [mm] $(z_n-1)^2-1<0$
[/mm]
> Danke freshstyle
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:22 Do 11.09.2008 | | Autor: | freshstyle |
vielen Dank schachuzipus ,
kann fast alles nach voll ziehen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Do 11.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo freshstyle!
Zeige mittels vollständiger Induktion, dass die genannte Folge sowohl beschränkt als auch monoton ist. Daraus folgt dann unmittelbar die Konvergenz.
Der Grenzwert ergibt sich dann aus der Eigenschaft: $A \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$ [/mm] und der Gleichung:
$$A \ = \ [mm] 1+\bruch{1}{A}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Das ist mir klar, was du geschrieben hast,
aber leider bekomme ich die monotonie nicht hin.
Wenn ich die monotonie habe, dann brauche ich noch ein Verbindung zwischen der geraden Glieder und der ungeraden Glieder, dann habe ich es.
MFG
freshstyle
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> Das ist mir klar, was du geschrieben hast,
> aber leider bekomme ich die monotonie nicht hin.
Hallo,
die Monotonie für die komplette Folge zu zeigen, wird ja auch nicht gelingen, denn sie ist doch nicht monoton.
Es ist ja, wie Du schon sagst: dieTeilfolge der geraden Folgenglieder wächst, die der ungeraden fällt, beide sind beschränkt, und das wäre zu zeigen.
Mit [mm] g_{n}:=a_{2n} [/mm] ist [mm] (g_n) [/mm] die Teilfolge der geraden Folgenglieder, und mit
[mm] u_{n}:=a_{2n+1} [/mm] ist [mm] (u_n) [/mm] die Teilfolge der ungeraden Folgenglieder.
Was hat Du denn bisher getan, um die Monotonie von [mm] (u_n) [/mm] und [mm] (g_n)zu [/mm] zeigen? Wenn man das sehen könnte, könnte man sicher besser helfen.
>
> Wenn ich die monotonie habe, dann brauche ich noch ein
> Verbindung zwischen der geraden Glieder und der ungeraden
> Glieder, dann habe ich es.
Wenn Du auch noch zeigst, daß beide Teilfolgen beschränkt sind, hast Du die Konvergenz der Teilfolgen, und wenn Du zeigen kannst, daß beide Teilfolgen, die gerade und die ungerade gegen denselben Grenzwert konvergieren, bist Du der Konvergenz der Folge sehr nah.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
leider kriege ich das nicht hin, die monotonie der beiden Teilfolgen zu zeigen.
Vielleicht hättest du ja ein Idee?
Danke freshstyle
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> leider kriege ich das nicht hin, die monotonie der beiden
> Teilfolgen zu zeigen.
> Vielleicht hättest du ja ein Idee?
Hallo,
die Ideen und Tips würden sicher besser strömen, wenn ich sehen könnte, was Du versucht hast.
So stochert man ja etwas im Trüben.
Aber es fällt mir eine Stelle ein, an welcher es vielleicht scheitern könnte.
Ist Dir eigentlich folgendes klar:
[mm] a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}}=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_{n-1}}}.
[/mm]
Was hast Du hiermit gewonnen? Es sind nun, je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist, nur noch gerade bzw. ungerade Folgenglieder im Spiel.
(Du hast so also z.B. [mm] a_{10} [/mm] in Abhängigkeit von [mm] a_8 [/mm] ausgedrückt und [mm] a_7 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] a_5)
[/mm]
Das ist sicher eine Erleichterung, wenn Du nur gerade (bzw. ungerade) Folgenglieder betrachten möchtest, denn es funken Dir keine von der falschen Art dazwischen.
Wenn Du nun das Verhalten der geraden Folgenglieder anschauen möchtest, mußt Du ja [mm] a_{2n}-a_{2n-2} [/mm] betrachten.
Ich würde nun eine Induktion versuchen. (Hab's selbst nicht durchgeführt, aber ich bin voller Optimismus)
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:55 Fr 12.09.2008 | | Autor: | freshstyle |
Hallo,
also
$ [mm] a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}}=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_{n-1}}}. [/mm] $
ist mir schon klar.
Ich habe auch versucht per Induktion folgendes zu zeigen:
$ [mm] a_0 \le a_2 \le a_4 \le [/mm] ... [mm] \le a_{2\cdot{}k} \le a_{2\cdot{}k+2} [/mm] $
und
$ [mm] a_{2\cdot{}k + 3} \le a_{2\cdot{}k+1}\le [/mm] .. [mm] \le a_5 \le a_3 \le a_1 [/mm] $
leider will mir nicht der Induktionschritt gelingen.
Ich hoffe, jetzt ist es ein wenig klarer geworden wo meine schwierigkeit liegt.
MFG freshstyle
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> Hallo,
>
> also
> [mm]a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}}=1+\bruch{1}{1+\bruch{1}{a_{n-1}}}.[/mm]
> ist mir schon klar.
>
> Ich habe auch versucht per Induktion folgendes zu zeigen:
> [mm]a_0 \le a_2 \le a_4 \le ... \le a_{2\cdot{}k} \le a_{2\cdot{}k+2}[/mm]
Hallo,
kannst Du denn bitte mal zeigen, was Du getan hast?
Wie weit bist Du gekommen?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:34 Sa 13.09.2008 | | Autor: | freshstyle |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Also, ich kann die ungleichung
$ a_{2k+2}=1+\bruch{a_{2k}}{a_{2k} + 1}} \ge a_{2k} $
nicht beweisen.
danke freshstyle
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> Also, ich kann die ungleichung
> [mm]a_{2k+2}=1+\bruch{a_{2k}}{a_{2k} + 1}} \ge a_{2k}[/mm]
> nicht
> beweisen.
Hallo,
das habe ich inzwischen begriffen.
Meine Frage ging dahin, was Du getan hast und wie weit Du gekommen bist.
Ich nehme doch an, daß Du das mit Induktion machen willst.
Da brauchen wir doch
die zu beweisende Aussage,
Induktionsanfang,
Induktionsvoraussetzung,
Induktionsschluß.
Welche Aussage versuchst Du im Induktionsschluß zu beweisen?
Und wie hast Du das angefangen?
Wie soll man denn helfen, wenn man nichts sieht?
Gruß v. Angela
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