Konvergenz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 So 26.10.2008 | | Autor: | MissB. |
| Aufgabe | Man beweise oder widerlege die Konvergenz der Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}n³ (\bruch{(\bruch{1+n}{n})^n}{3})^n [/mm] |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade über einer Staatsexamenaufgabe aus dem letzten Jahr. Ich wollte erst mit der geometrischen Reihe argumentieren, aber dann habe ich immer noch n³. Sollte ich dann zusätzlich noch über Majoranten- / Minoratenkriterium argumentieren???
Könnt ihr mir einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe herangehen soll?
Vielen Dank!!! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo MissB,
> Man beweise oder widerlege die Konvergenz der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}n³ (\bruch{(\bruch{1+n}{n})^n}{3})^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze gerade über einer Staatsexamenaufgabe aus dem
> letzten Jahr. Ich wollte erst mit der geometrischen Reihe
> argumentieren, aber dann habe ich immer noch n³. Sollte ich
> dann zusätzlich noch über Majoranten- / Minoratenkriterium
> argumentieren???
> Könnt ihr mir einen Tipp geben wie ich an die Aufgabe
> herangehen soll?
Hier bietet sich m.E. das Wurzelkriterium an, da kürzt sich doch so einiges weg
Berechne $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3\cdot{}\left[\frac{\left(\frac{1+n}{n}\right)^n}{3\right]^n}$
$=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3}\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1+n}{n}\right)^n=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^3}\cdot{}\frac{1}{3}\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
Wenn dieser Limes (superior) <1 ist, ist die Reihe (absolut) konvergent, falls >1, dann divergent, falls =1, dann Pech gehabt und einen anderen Ansatz wählen 
>
> Vielen Dank!!! :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:42 So 26.10.2008 | | Autor: | MissB. |
oh vielen Dank!!! ja, an das Wurzelkriterium habe ich garnicht mehr gedacht... das war einfach zu lange her...
naja und da der Limes gegen e strebt, habe ich eine perfekte Divergenz :) Danke!
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Hallo nochmal,
> oh vielen Dank!!! ja, an das Wurzelkriterium habe ich
> garnicht mehr gedacht... das war einfach zu lange her...
> naja und da der Limes gegen e strebt,
Obacht!
Was ist mit dem [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] davor?
> habe ich eine perfekte Divergenz :) Danke!
Nein, so perfekt ist die nicht ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:57 So 26.10.2008 | | Autor: | MissB. |
ja ist mir auch gerade gekommen, daß ich den ersten Teil überlesen habe. da war die Vorfreude wohl zu groß... :)
Danke für den Hinweis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mo 27.10.2008 | | Autor: | dupline |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade etwas aufm Schlauch... gegen was geht [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3} [/mm] ?
oder interessiert der Teil mich gar nicht, weil durch das folgende Produkt das Ergebnis sowieso schon <1 ist ?
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> Hallo zusammen,
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> ich sitze gerade etwas aufm Schlauch... gegen was geht
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3}[/mm] ?
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> oder interessiert der Teil mich gar nicht, weil durch das
> folgende Produkt das Ergebnis sowieso schon <1 ist ?
Hallo,
doch, das interessiert sehr, denn wenn [mm] \wurzel[n]{n^3} [/mm] groß genug wäre, wäre das Produkt ja nicht <1.
Ihr habt wahrscheinlich schon gezeigt, daß [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 konvergiert.
Gruß v. Angela
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Mo 27.10.2008 | | Autor: | dupline |
Ah, ja... langsam dämmerts wieder... vielen Dank !
> Hallo zusammen,
> >
> > ich sitze gerade etwas aufm Schlauch... gegen was geht
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{n^3}[/mm] ?
> >
> > oder interessiert der Teil mich gar nicht, weil durch das
> > folgende Produkt das Ergebnis sowieso schon <1 ist ?
>
> Hallo,
>
> doch, das interessiert sehr, denn wenn [mm]\wurzel[n]{n^3}[/mm] groß
> genug wäre, wäre das Produkt ja nicht <1.
>
> Ihr habt wahrscheinlich schon gezeigt, daß [mm]\wurzel[n]{n}[/mm]
> gegen 1 konvergiert.
>
> Gruß v. Angela
> >
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