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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n\bruch{n}{(n+1)(n+2)} [/mm]
und
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}+(-1)^n\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] |
Leider weiß ich nicht genau wie ich anfangen soll diese Reihen auf Konvergenz zu überprüfen. Muss ich diese Reihen aufsplitten und dann nach den einzelnen Kriterien überprüfen? Also z.B. bei bei der ersten Reihe mir das [mm] (-1)^n [/mm] nehmen und mit dem Leibniz Kriterium auf Konvergenz überprüfen?
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Hallo wasistmathe,
Wenn man allgemein zeigen soll, dass gegebene Reihen konvergent bzw divergent sind, ist das am einfachsten über Konvergenzkriterien (https://matheraum.de/wissen/Konvergenzkriterium).
Zur ersten Aufgabe:
Als erstes sollte dir spontan das Leibnizkriterium einfallen. Es sagt aus, dass alternierende Reihen monoton fallender Nullfolgen konvergieren (nicht absolut!).
D.h. bei der ersten Aufgabe reicht es die reelle Folge (nicht Reihe) [mm] \bruch{n}{(n+1)(n+2)} [/mm] zu untersuchen. Falls sie eine monotone Nullfolge ist, gilt Konvergenz, sonst Divergenz. (monoton fallend muss nicht unbedingt sein, wäre die Folge monoton steigend, klammert man einfach eine (-1) aus und man hat die gewünschte monoton fallende Folge).
zur zweiten Aufgabe:
Hier ist es hilfreich, eine unendliche Reihe leicht anders aufzuschreiben:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}+(-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{n}+(-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{n}+\summe_{n=1}^{k}(-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n}}=\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}\bruch{1}{n}+\limes_{k\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{k}(-1)^n*\bruch{1}{\wurzel{n}}
[/mm]
Und jetz sollte dir vllt der erste Summand bekannt vorkommen. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] ist die arithmetische Reihe und von der muss man wissen, dass sie divergiert.
So... jetz sollte die Aufgabe hoffentlich nicht mehr so schwer sein.
lg Kai
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Leider weiß ich gerade nicht wie ich gucken kann ob die Folge [mm] \bruch{n}{(n+1)(n+2)} [/mm] eine Nullfolge ist.Mache ich das mit dem Majorantenkriterium?
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Hallo wasistmathe,
> Leider weiß ich gerade nicht wie ich gucken kann ob die
> Folge [mm]\bruch{n}{(n+1)(n+2)}[/mm] eine Nullfolge ist.Mache ich
> das mit dem Majorantenkriterium?
Das kannst du doch nur bei Reihen anwenden!
Multipliziere die Klammern im Nenner mal aus, klammere dann im Nenner [mm] $n^2$ [/mm] aus und kürze es gegen das $n$ im Zähler weg.
Was bleibt und wogegen konvergiert es für [mm] $n\to\infty$?
[/mm]
LG
schachuzipus
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