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| Aufgabe | a) Sei |q| < 1 und p [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty}n^pq^n [/mm] konvergiert.
b) Sei |q| < 1. Dann ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)q^n [/mm] = [mm] \bruch{2}{(1-q)^3}. [/mm] (Hinweis man benutze den Produktsatz für Reihen) |
Hallo zusammen, kann ich bei a) sagen, dass die Reihe konvergiert, da q <1 bei der geometrischen Reihe als konvergierend definiert wird?
oder ist das zu einfach? aber wenn [mm] q^n [/mm] konvergiert dann konvergiert somit auch alles was damit multipliziert wird oder?
Wie ist das denn bei denn b)? Also benutze ich da Cauchy oder? Muss ich das dann so schreiben? [mm] (\summe_{n=0}^{\infty}q^n)*(\summe_{n=0}^{\infty}q^n)*(\summe_{n=0}^{\infty}q^n)
[/mm]
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Hallo wasistmathe,
> a) Sei |q| < 1 und p [mm]\in \IN.[/mm] Zeigen Sie, dass
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}n^pq^n[/mm] konvergiert.
> b) Sei |q| < 1. Dann ist [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)(n+2)q^n[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{(1-q)^3}.[/mm] (Hinweis man benutze den Produktsatz
> für Reihen)
> Hallo zusammen, kann ich bei a) sagen, dass die Reihe
> konvergiert, da q <1 bei der geometrischen Reihe als
> konvergierend definiert wird?
> oder ist das zu einfach?
Jo, das ist zu einfach (zumal es falsch ist)
> aber wenn [mm]q^n[/mm] konvergiert dann
> konvergiert somit auch alles was damit multipliziert wird
> oder?
Nein, was ist mit zB [mm] $n^n\cdot{}q^n$
[/mm]
Benutze lieber mal das Wurzelkriterium, berechne also [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|n^p\cdot{}q^n\right|}$
[/mm]
> Wie ist das denn bei denn b)? Also benutze ich da Cauchy
> oder? Muss ich das dann so schreiben?
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}q^n)*(\summe_{n=0}^{\infty}q^n)*(\summe_{n=0}^{\infty}q^n)[/mm]
>
Mit dem Cauchyprodukt ist es ziemlich aufwendig, einfacher geht es so:
Du weißt, dass für $|q|<1$ die geometrische Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n$ [/mm] den Wert [mm] $\frac{1}{1-q}$ [/mm] hat, also
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{1-q}$
[/mm]
Leite beide Seiten 2mal ab, dann ne kleine Indexverschiebung an der Reihe und du bist schon fertig
LG
schachuzipus
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wie berechen ich denn das wurzelkriterium, ich weiß dass ich darauf kommen muss ob dsa ganze < oder > als 1 ist. aber wie spalte ich das jetzt auf um eine aussage darüber treffen zu können.
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Hallo nochmal,
schreibe [mm] $\sqrt[n]{\left|n^q\cdot{}q^n\right|}=\sqrt[n]{n^q}\cdot{}\sqrt[n]{|q|^n}=...$
[/mm]
Vereinfache die zweite Wurzel ...
Wogegen strebt die erste Wurzel für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Also ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 16.12.2008 | | Autor: | Marc87 |
> Du weißt, dass für [mm]|q|<1[/mm] die geometrische Reihe
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n[/mm] den Wert [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] hat,
> also
>
> [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n \ = \ \frac{1}{1-q}[/mm]
>
> Leite beide Seiten 2mal ab, dann ne kleine
> Indexverschiebung an der Reihe und du bist schon fertig
>
>
> LG
>
> schachuzipus
>
Hallo, ich sitzte momentan auch an dieser Aufgabe. Dazu eine Verständnissfrage: Ich kann also sagen, dass der Grenzwert der 2. Ableitung einer Funktion identisch ist mit der 2. Ableitung des Grenzwertes der Funktion?
Dann könnte ich zwar eine Aussage über das Konvergenzverhalten machen, aber doch nicht über den Wert der Reihe, schließlich ist nach der Ableitung nun n=2, oder?
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Hallo Marc,
> Hallo, ich sitzte momentan auch an dieser Aufgabe. Dazu
> eine Verständnissfrage: Ich kann also sagen, dass der
> Grenzwert der 2. Ableitung einer Funktion identisch ist mit
> der 2. Ableitung des Grenzwertes der Funktion?
So richtig verstehe ich diese Frage nicht ...
>
> Dann könnte ich zwar eine Aussage über das
> Konvergenzverhalten machen, aber doch nicht über den Wert
> der Reihe, schließlich ist nach der Ableitung nun n=2,
> oder?
Für $|q|<1$, also für [mm] $q\in(-1,1)$ [/mm] stimmen die Funktionen [mm] $f(q)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^n$ [/mm] und [mm] $g(q)=\frac{1}{1-q}$ [/mm] überein.
Beide kannst du doch 2mal ableiten, die Reihe gliedweise.
Dass diese dann bei $n=2$ startet, stimmt, allerdings steht ja dann auch im Exponenten von $q$ ein $n-2$, also
[mm] $f''(q)=\sum\limits_{n=2}^{\infty}n(n-1)q^{n-2}$
[/mm]
Hier nun die erwähnte Indexverschiebung:
Vermindere den Laufindex um 2 und passe ihn durch entsprechende Erhöhung um 2 in der Summe an
Also [mm] $f''(q)=\sum\limits^{\infty}_{n=\red{0}}(n\red{+2})(n\red{+2}-1)q^{n\red{+2}-2}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+2)q^{n}$
[/mm]
Also genau das, was wir wollten ...
LG
schachuzipus
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