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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen alle zusammen!
Ich lerne gerade das Innere - Punkte - Verfahren und bin auf eine Frage gestoßen, und habe auch eine Antwort dazu, aber leider kann ich einen Umformungsschritt nicht nachvollziehen.
Die Frage ist nach der Konvergenzrate des Verfahrens. Wie lange dauert es, bei einer Verkleinerungsrate von [mm] \mu^{k+1} = ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } ) \mu^{k} [/mm], bis [mm] \mu [/mm] sich halbiert?
Antwort:
[mm] \bruch{ \mu }{2} = [( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } )^k \mu [/mm]
[mm] \Rightleftarrow \bruch{1}{2} = ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } )^k [/mm]
[mm] \Rightleftarrow k = \bruch{ \log( \bruch{1}{2} ) }{ \log ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } ) } = \bruch{ - \log( 2 ) }{ \log ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } ) } = \bruch{ - \log (2) }{ \bruch{-1 }{ 6 \wurzel{n} } } = 6 \wurzel{n} \log(2) [/mm]
Meine Frage ist, wie kommt der vorletzte Term zustande? Ich sehe nicht, warum das vorletzte Gleichheitszeichen gilt... Ich habe den Tipp bekommen Taylor 1. Ordnung anzuschauen, aber ich sehe es leider nicht....
Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann.
Viele liebe Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Sa 07.02.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Taylorreihe vom Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 ist [mm] $$\log(1+x)=\sum_{k\ge 1}(-1)^{k+1}\frac{x^k}{k}$$ [/mm] d.h. ist x nahe bei 0, so ist [mm]\log(1+x)\approx x[/mm].
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:06 Sa 07.02.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Diese Umformung denke ich verstanden zu haben... Jedoch habe ich hier eine weitere Frage dazu, mit der ich leider wieder Probleme habe :-( ...
Also:
. Wie
lange dauert es, bei einer Verkleinerungsrate von [mm]\mu^{k+1} = ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } ) \mu^{k} [/mm],
von [mm] \mu = 1 [/mm] bis [mm] \mu = 10^{-8} [/mm] ?
Antwort:
> [mm]10^{-8} \mu = [( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } )^k \mu[/mm]
>
> [mm]\Rightleftarrow 10^{-8} = ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } )^k[/mm]
>
> [mm]\Rightleftarrow k = \bruch{ \log( 10^{-8}) }{ \log ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } ) } = \bruch{ -8 \log( 10 ) }{ \log ( 1 - \bruch{1}{ 6 \wurzel{n} } ) } = \bruch{ - 8 \log (10) }{ \bruch{-1 }{ 6 \wurzel{n} } } = 6 \wurzel{n} 8 \log(10 )[/mm]
Wäre das so richtig?
Viele liebe Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 10.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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