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| Aufgabe | Es sei (X, d) ein metrischer Raum und sei (xn) eine Folge in X. Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen.
(i) Existiert eine konvergente Teilfolge von [mm] (x_n), [/mm] so konvergiert auch die Folge [mm] (x_n) [/mm] selbst.
(ii) Konvergiert jede Teilfolge von [mm] (x_n), [/mm] so konvergiert auch die Folge [mm] (x_n) [/mm] selbst.
(iii) Besitzt jede Teilfolge [mm] (x_n_k [/mm] ) von [mm] (x_n) [/mm] eine gegen x [mm] \in [/mm] X konvergente Teilfolge [mm] (x_n_k_l), [/mm] so
konvergiert auch (xn) gegen x.
(iv) Sei [mm] (y_n) [/mm] eine weitere Folge, so daß [mm] x_n [/mm] = [mm] y_n [/mm] für alle bis auf endlich viele Indizes n [mm] \in [/mm] N
gilt. Dann konvergiert [mm] (y_n) [/mm] genau dann, wenn [mm] (x_n) [/mm] konvergiert und die Grenzwerte
stimmen überein. |
Also ich brauch mal eure hilfe. ii) hab ich schon hinbekommen und bei i) weis ich das es falsch ist oder ich weis nicht wie ich es wiederlege. und bei den anderen hab ich garkeinen plan. könnt ihr mir vllt helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Do 21.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
bei (i) kannst Du es ja mal mit [mm] x_n=(-1)^n [/mm] probieren.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Do 21.05.2009 | | Autor: | trixi28788 |
ja damit hab ich es auch schon vertsucht doch irgendwie komme ich immer auf das falsch. wobei ich zugeben muss das ich mit konvergenz sowieso meine probleme habe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Do 21.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist denn [mm] (-1)^n [/mm] konvergent? wenn nicht, warum nicht?
welche 2 Teilfolgen konvergieren?
Dann schreib, grad wenn du Schwierigkeiten hast immer nochmal eure definition von Konvergenz auf. Dann sind die Aufgaben nicht schwer, wenn man einfach zeigt, dass etwas davon erfuellt, bzw. nicht erfuellt ist.
Probiers erstmal, wir korrigieren dann.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:46 Do 21.05.2009 | | Autor: | trixi28788 |
ok ich versuch es mal, danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Do 21.05.2009 | | Autor: | trixi28788 |
also ich habe jez 3i auch hin bekommen. die folge ist divergent und hat 2 konvergente teilfolgen. könnt ihr mir vllt zu den anderen noch was sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Do 21.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (iv) Sei [mm](y_n)[/mm] eine weitere Folge, so daß [mm]x_n[/mm] = [mm]y_n[/mm] für
> alle bis auf endlich viele Indizes n [mm]\in[/mm] N
> gilt. Dann konvergiert [mm](y_n)[/mm] genau dann, wenn [mm](x_n)[/mm]
> konvergiert und die Grenzwerte
> stimmen überein.
das ist ganz einfach. Wenn [mm] $(x_n), (y_n)$ [/mm] bis auf endlich viele Indizes übereinstimmen, dann gibt es eine Zahl $N [mm] \in \IN$ [/mm] so, dass
[mm] $$x_n=y_n \forall [/mm] n [mm] \ge N\,.$$
[/mm]
1.) Zu zeigen: Wenn [mm] $x_n \to [/mm] x$, dann gilt auch [mm] $y_n \to [/mm] x$:
Wenn [mm] $x_n \to [/mm] x$, dann gilt:
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, so gibt es ein [mm] $N_1=N(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $d(x_n,x) [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N_1\,.$
[/mm]
Was folgt somit für
[mm] $$d(y_n,x)\,,$$ [/mm]
wenn $n [mm] \ge \tilde{N}=\tilde{N}(\epsilon):=\max \{N,\;N_1\}$?
[/mm]
Konsequenz: [mm] $x_n \to [/mm] x$ [mm] $\Rightarrow$ $y_n \to [/mm] x$.
2.) Nun gelte [mm] $y_n \to [/mm] y$. Zu zeigen: Dann gilt [mm] $x_n \to y\,.$
[/mm]
Das geht aber vollkommen analog zu 1.).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 21.05.2009 | | Autor: | trixi28788 |
danke danke hab ich hinbekommen.
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