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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 So 22.11.2009 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k [/mm] (2k+1)/ (k*((k+1)) für alle n Element IN.
a) Man zeige [mm] a_n= [/mm] -1 + [mm] ((-1)^n)/ [/mm] n+1 für alle n Element IN.
b) Man zeige, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] _n Element IN einen Grenzwert a Element IR besitzt, und bestimme ein [mm] n_0 [/mm] Element IN mit [mm] Ia_n [/mm] - a I < 10^-4 für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] |
Hallo brauche Tips für die Bearbeitung dieser Aufgabe.Kann mir jemand helfen?
Danke im Voraus
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Hallo!
> Gegeben sei [mm]a_n[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} (-1)^k[/mm] (2k+1)/
> (k*((k+1)) für alle n Element IN.
>
> a) Man zeige [mm]a_n=[/mm] -1 + [mm]((-1)^n)/[/mm] n+1 für alle n Element
> IN.
> b) Man zeige, dass die Folge [mm](a_n)[/mm] _n Element IN einen
> Grenzwert a Element IR besitzt, und bestimme ein [mm]n_0[/mm]
> Element IN mit [mm]Ia_n[/mm] - a I < 10^-4 für alle n [mm]\ge n_0[/mm]
>
> Hallo brauche Tips für die Bearbeitung dieser Aufgabe.Kann
> mir jemand helfen?
Vorab: Noch niemand ist gestorben, weil er die volle Funktionalität des Formeleditors ausgekostet hat!
Ich vermute, in deiner Aufgabe lautet es:
[mm] $a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} (-1)^k*\frac{2k+1}{k*(k+1)}$
[/mm]
In a) ist nun eine explizite Formel für [mm] a_{n} [/mm] angegeben, die du herleiten sollst. Ich würde es als erstes mit einer Partialbruchzerlegung des Terms
[mm] $\frac{2k+1}{k*(k+1)} [/mm] = [mm] \frac{A}{k} [/mm] + [mm] \frac{B}{k+1}$
[/mm]
versuchen und dann die Teleskopsumme betrachten, die entsteht, wenn du einige Folgenglieder [mm] a_{n} [/mm] aufschreibst.
Zu b):
Das die Folge [mm] a_{n} [/mm] einen Grenzwert besitzt, ist mit a) mehr als offensichtlich. Da du es zeigen sollst, weiß ich jetzt aber nicht, wie genau das bei euch aussehen soll. Je nachdem, wie weit ihr seid, und was ihr schon benutzen dürft, darfst du einfach die Grenzwertsätze benutzen oder du musst eben den Grenzwert "raten" und dann einen Konvergenznachweis führen.
Zweiteres ist für den zweiten Teil der Aufgabe aber wahrscheinlich ohnehin sinnvoller.
Du sollst ein [mm] n_{0} [/mm] finden, sodass für alle [mm] $n>n_{0}$ [/mm] gilt:
[mm] $|a_{n}-a| [/mm] < [mm] 10^{-4} [/mm] = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Ich habe das [mm] \varepsilon [/mm] hingeschrieben, damit du die Analogie zur Konvergenzdefinition einer Folge erkennst. So, und nun brauchst du die explizite Darstellung von [mm] a_{n} [/mm] und deinen geratenen Grenzwert, setzt sie ein, schätzt nach oben ab, und rechnest ein passendes [mm] n_{0} [/mm] aus.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 22.11.2009 | | Autor: | aga88 |
Ich habe nun [mm] I((-1)^n)/ [/mm] (n+1)I < 10^-4
stimmt das? und wenn ja,wie kann ich dann weiterrechnen? was bedeutet n und was bedeutet [mm] n_0? [/mm] ist [mm] n_0 [/mm] immer gleich 0? Dankeschön!
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Hallo!
> Ich habe nun [mm]I((-1)^n)/[/mm] (n+1)I < 10^-4
>
> stimmt das? und wenn ja,wie kann ich dann weiterrechnen?
> was bedeutet n und was bedeutet [mm]n_0?[/mm] ist [mm]n_0[/mm] immer gleich
> 0? Dankeschön!
[mm] n_{0} [/mm] ist nur eine Bezeichnung. Du sollst hier ein [mm] n_{0}\in\IN [/mm] finden, sodass für alle $n > [mm] n_{0}$ [/mm] gilt: [mm] $\left|\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right| [/mm] < 10^-4$.
Das ist effektiv nur ein bisschen Ungleichungsumstellen! Du schreibst:
[mm] $\left|\frac{(-1)^{n}}{n+1}\right| [/mm] < 10^-4$
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{n+1} [/mm] < 10^-4$,
und nun stellst du einfach nach n um. Dann hast du eine Ungleichung der Form n > ..., und dieses ... auf der rechten Seite ist dein gesuchtes [mm] n_{0}, [/mm] weil ja die Ungleichung offenbar für alle n > ... erfüllt ist.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 So 22.11.2009 | | Autor: | aga88 |
Hallo Stefan,
ist das richtige Ergebnis 9999 < n? Also [mm] n_0 [/mm] ist 10.000? Denn: n [mm] \ge n_0, [/mm] also n [mm] \ge [/mm] 10.000. stimmt's?
Dankeschön!
Und dir einen schönen Abend!
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Hallo aga88,
> Hallo Stefan,
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> ist das richtige Ergebnis 9999 < n? Also [mm]n_0[/mm] ist 10.000?
> Denn: n [mm]\ge n_0,[/mm] also n [mm]\ge[/mm] 10.000. stimmt's?
Ja, das ist ein mögliches Ergebnis. Es hätte aber auch schon [mm] $n_{0} [/mm] = 9999$ funktioniert, denn wie du ja selbst schreibst: n >9999, also ist die Ungleichung erfüllt für alle n > [mm] n_{0} [/mm] = 9999.
Grüße,
Stefan
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