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| Aufgabe | Prüfen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den
Grenzwert.
[mm] a)x_{2}:=1;x_{n+1}:=\bruch{1}{x_{n}}+\bruch{x_{2}}{2},n\ge1
[/mm]
[mm] b)x_{0}:=2;x_{n}:=\wurzel{x_{n-1}} [/mm] |
Hallo leute,
ich hab mein neues Übungsblatt bekommen und verstehe leider nichts. Bei den anderen Aufgaben habe ich es geschafft wenigstens einen Ansatz aufzusateelen, aber bei dieser Aufgabe sehe ich nur schwarz könnt ihr mir bitte bitte tipps geben wie ich hier an die aufgabe am besten rangehe...
Verzweifle wirklich noch...
Vielen Lieben Dank.........
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 22.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei iterativen Folgen wie diesen hier gibts eine Strategie.
erstmal 3 bis 4 folgeglieder ausrechnen, dabei beobachten, ob die folge fällt oder wächst.
Falls sie etwa (wie die erste) ab dem zweiten Glied fällt, sucht man
a)eine untere Schranke
b) zeigt man dass sie monoton fällt
dann hat man die Konvergenz bewiesen.
wenn man die hat, kann man den GW finden, weil der GW von [mm] x_n [/mm] und von [mm] x_{n-1} [/mm] derselbe ist, man hat also dann für den GW g die Gleichung
g=1/g+g/2 und kann ihn ausrechnen.
Wenn man verrmutet, dass ein GW existiert kann man den auch schon vorher ausrechnen und findet damit leichter ne untere (oder obere) Schranke.
Gruss leduart
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Ich hab auch die gleiche Aufgabe heute bekommen und ich habe es mit der Cauchy formle versucht die sieht das sieht dann so aus
Soll auf Konvergenz geprüft werden. Ich hab mir einfach mal den alten Cauchy geschnappt und vor mich hingerechnet:
wenn m<n+1 ist, dann ist [mm] |x_{m}-x_{n+1}|
oder auch
[mm] |x_{n+p+1}-x_{n+1}|
[mm] \Rightarrow |\frac{x_{n+p}+2/x_{n+p}}{2}-\frac{ x_{n}+2/ x_{n}}{2}|=|\frac{x_{n+p}-x_{n}+2/x_{n+p}-2/x_{n}}{2}| \leq |\frac{x_{n+p}-x_{n}}{2}|+|1/x_{n+p}-1/x_{n}| \leq [/mm] 3/2e
meine frage ist jetzt eigentlich nur: kann man das so machen und wenn nicht, wo liegt mein Fehler ? =) Auch ein Ansatz zur Errechnung des Grenzwertes ist gern gesehen, vielen Dank schon einmal
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
hallo
du willst doch wohl zeigen, dass $ [mm] |x_{m}-x_{n+1}|
wenn du das hättest wärst du fertig.
dein Beweis ist also leider gar nichts wert.
du musst dich schon an den Rat halten
a) zeigen die Folge ist beschränkt, hier ab n=2 nach unten und monoton fallend.
Wenn du bewiesen hast, dass sie konvergiert. ist lim [mm] a_n=lima_{n+1}=g
[/mm]
und du kannst g aus der Iterationsformel ausrechnen.
Das kann man natürlich auch vorher, und damit ne günstige untere Schranke finden.
Gruss leduart
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