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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz. Beweisen sie unter direkter Verwendung der Definition, dass die jeweilige Folge konvergiert, oder divergiert.
i)( [mm] e^{\bruch{1}{n^2}})_{n\in \IN} [/mm] |
Hallo,
Wir sollen ja direkt mit folgender Definition beweisen:
Eine Folge heißt konvergent, wenn gilt:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists N_{0}(\varepsilon): \forall [/mm] n [mm] \ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a||<\varepsilon
[/mm]
Rein intuitiv ist ja klar, dass die Folge ( [mm] e^{\bruch{1}{n^2}})_{n\in \IN} [/mm] für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 1 konvergiert, ja der Exponent für große n gegen0 geht und [mm] e^0=1 [/mm] ist.
Doch wie kann ich das mit der gegebenen Definition sauber begründen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Do 13.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz.
> Beweisen sie unter direkter Verwendung der Definition, dass
> die jeweilige Folge konvergiert, oder divergiert.
>
> i)( [mm]e^{\bruch{1}{n^2}})_{n\in \IN}[/mm]
> Hallo,
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> Wir sollen ja direkt mit folgender Definition beweisen:
> Eine Folge heißt konvergent, wenn gilt:
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists N_{0}(\varepsilon): \forall[/mm] n
> [mm]\ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a||<\varepsilon[/mm]
>
> Rein intuitiv ist ja klar, dass die Folge (
> [mm]e^{\bruch{1}{n^2}})_{n\in \IN}[/mm] für
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gegen 1 konvergiert, ja der
> Exponent für große n gegen0 geht und [mm]e^0=1[/mm] ist.
>
> Doch wie kann ich das mit der gegebenen Definition sauber
> begründen?
Wende diese Definition an!
Du hast bereits vermutet, dass es einen Grenzwert gibt, und dieser hat deiner Meinung nach den Wert 1.
Also nimmst du an (ich zitiere):
[mm]\forall\varepsilon>0 \exists N_{0}(\varepsilon): \forall[/mm] n[mm]\ge N_{0}(\varepsilon): ||a_{n}-a||<\varepsilon[/mm],
wobei [mm] a_n [/mm] hier [mm] e^{\bruch{1}{n^2}} [/mm] ist und a hat den Wert 1.
Ab einer bestimmten natürlichen Zahl [mm] N_0 [/mm] soll also immer gelten
[mm] ||e^{\bruch{1}{n^2}}-1||<\varepsilon [/mm] .
Löse diese letzte Ungleichung doch mal nach n auf!
Gruß Abakus
> Gruß
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Danke für die Antwort! Läuft das denn so, dass ich den Grenzwert, gegen den eine Folge konvergiert, erstmal finden muss und erst dann zeigen kann, dass das auch stimmt?
Wenn gilt:
[mm] ||e^{\bruch{1}{n^2}}-1||<\varepsilon
[/mm]
dann doch auch unter Verwendung der Dreiecksungleichung:
[mm] ||e^{\bruch{1}{n^2}}||-||1||<\varepsilon
[/mm]
Um das nach n aufzulösen, würde ich den Logarithmus bilden:
[mm] ||\bruch{1}{n^2}||-\underbrace{||ln(1)||}_{=0}
Also: [mm] ||\bruch{1}{n^2}||
Muss ich noch weiter machen? Blöde Frage, aber stellt man so eine Ungleichung dann immer nach n um, um zu zeigen, dass die Folge gegen diesen Grenzwert konvergiert?
Gruß
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Hallo Theoretix,
> Danke für die Antwort! Läuft das denn so, dass ich den
> Grenzwert, gegen den eine Folge konvergiert, erstmal finden
> muss und erst dann zeigen kann, dass das auch stimmt?
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> Wenn gilt:
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> [mm]||e^{\bruch{1}{n^2}}-1||<\varepsilon[/mm]
>
> dann doch auch unter Verwendung der Dreiecksungleichung:
>
> [mm]||e^{\bruch{1}{n^2}}||-||1||<\varepsilon[/mm]
> Um das nach n aufzulösen, würde ich den Logarithmus
> bilden:
>
> [mm]||\bruch{1}{n^2}||-\underbrace{||ln(1)||}_{=0}
>
> Also: [mm]||\bruch{1}{n^2}||
Mach's dir mal nicht zu schwer.
Es ist doch [mm]\frac{1}{n^2}>0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm], also [mm]e^{\frac{1}{n^2}}>1[/mm]
Damit ist [mm]\left|e^{\frac{1}{n^2}-1\right|<\varepsilon\gdw e^{\frac{1}{n^2}}-1<\varepsilon[/mm]
Also [mm]e^{\frac{1}{n^2}}<\varepsilon+1[/mm]
Somit [mm]\frac{1}{n^2}<\underbrace{\ln\left(\underbrace{\varepsilon+1}_{>1}\right)}_{>0}[/mm]
Und das ist doch schnell nach [mm]n[/mm] umgestellt, so dass du das gesuchte [mm]n_0[/mm] (oder [mm]N(\varepsilon)[/mm]) oder wie auch immer ihr den "Schwellenindex" genannt habt schnell gefunden
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> Muss ich noch weiter machen? Blöde Frage, aber stellt man
> so eine Ungleichung dann immer nach n um, um zu zeigen,
> dass die Folge gegen diesen Grenzwert konvergiert?
>
> Gruß
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
Wenn ich also [mm] \bruch{1}{n^2}
[mm] 1
= [mm] \bruch{1}{ln(\varepsilon+1)}
[mm] =\wurzel{\bruch{1}{ln(\varepsilon+1)}}
Also gilt dann ab [mm] N_{0}=\wurzel{\bruch{1}{ln(\varepsilon+1)}} [/mm] :
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge \wurzel{\bruch{1}{ln(\varepsilon+1)}}(\varepsilon): ||e^{\bruch{1}{n^2}}-1||<\varepsilon
[/mm]
Stimmt das dann?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Do 13.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Theoretix!
So ist es richtig.
Gruß
Loddar
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