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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mi 16.02.2011 | | Autor: | stffn |
| Aufgabe | Die Potenzreihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}(z+i)^k [/mm] sei konvergent für z=1.
a) Was kann man über die Konvergenz dieser Potenzreihe an den Stelllen -2i, i, 0, -1, und 3 aussagen.
b) Was kann man zusätzlich sagen, falls die Potenzreihe an der Stelle -1 divergiert? |
Hallo Leute!
Für die Aufgabe habe ich eine Musterlösung die mich verwundert hat.
Ich dachte, bei diesem Typ von Potenzreihe - mit der Form [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k}(z+i)^k [/mm] - lässt sich der Potenzradius einfach als Betrag von |z+i| bestimmen.
Daher habe ich meine gegebene Konvergenz für z=1 genommen und den Betrag von [mm] |1+i|=\wurzel{2} [/mm] ausgerechnet.
Dies muss mindestens der Komvergenzradius sein, da die PR dafür schonmal konvergiert.
Dann habe ich das selbe für die anderen z's gemacht. Für die Beträge, die [mm] \le\wurzel{2} [/mm] waren, habe ich gesagt, dass sie im KR liegen. Über die anderen ließe sich keine Aussage machen.
Meine Lösung stimmt in sofern nicht mit der Musterlösung überein, als dass z=-1 in meiner Rechnung im KR von [mm] \wurzel{2} [/mm] liegt [mm] (|-1+i|=\wurzel{(-1)^2+1^2}=\wurzel{2}).
[/mm]
In der Musterlösung heißt es allerdings, dass keine Aussage über z=-1 getroffen werden kann - warum?? Was mache ich falsch?
Danke für eure Hilfe. b) wird sich dann bestimmt eh von allein klären.
Schöne Grüße, stffn-
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 Mi 16.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Potenzreihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}(z+i)^k[/mm] sei
> konvergent für z=1.
>
> a) Was kann man über die Konvergenz dieser Potenzreihe an
> den Stelllen -2i, i, 0, -1, und 3 aussagen.
>
> b) Was kann man zusätzlich sagen, falls die Potenzreihe an
> der Stelle -1 divergiert?
> Hallo Leute!
>
> Für die Aufgabe habe ich eine Musterlösung die mich
> verwundert hat.
>
> Ich dachte, bei diesem Typ von Potenzreihe - mit der Form
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}(z+i)^k[/mm] - lässt sich der
> Potenzradius
Konvergenzradius !!!!
> einfach als Betrag von |z+i| bestimmen.
Das ist doch Unfug, der Konvergenzradius hängt doch sicher von der Folge [mm] (a_k) [/mm] ab !!!
> Daher habe ich meine gegebene Konvergenz für z=1 genommen
> und den Betrag von [mm]|1+i|=\wurzel{2}[/mm] ausgerechnet.
> Dies muss mindestens der Komvergenzradius sein
Da hast Du zufällig Glück gehabt !
Konvergenz in z=1 liefert zusammen mit dem Wurzelkrit.:
lim sup [mm] \wurzel[k]{|a_k(1+i)^k|}= [/mm] lim sup [mm] \wurzel[k]{|a_k|}\wurzel{2} \le [/mm] 1
Ist R der Konvergenzradius, so ist mit Cauchy _ Hadamard:
R [mm] \ge \wurzel{2}
[/mm]
Die Potenzreihe konvergiert also für |z+i|< R
Beachte das "<" !!!
Für z=-2i gilt z.B.: |z+i|=|-i|=1 < [mm] \wurzel{2}. [/mm] Die Potenzreihe konvergiert also für z=-2i
FRED
> , da die PR
> dafür schonmal konvergiert.
> Dann habe ich das selbe für die anderen z's gemacht. Für
> die Beträge, die [mm]\le\wurzel{2}[/mm] waren, habe ich gesagt,
> dass sie im KR liegen. Über die anderen ließe sich keine
> Aussage machen.
> Meine Lösung stimmt in sofern nicht mit der Musterlösung
> überein, als dass z=-1 in meiner Rechnung im KR von
> [mm]\wurzel{2}[/mm] liegt [mm](|-1+i|=\wurzel{(-1)^2+1^2}=\wurzel{2}).[/mm]
> In der Musterlösung heißt es allerdings, dass keine
> Aussage über z=-1 getroffen werden kann - warum?? Was
> mache ich falsch?
>
> Danke für eure Hilfe. b) wird sich dann bestimmt eh von
> allein klären.
> Schöne Grüße, stffn-
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