Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 02.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Wahr oder falsch? Geben Sie bei wahren Aussagen eine Begründung, bei falschen Aussagen ein passendes Gegenbeispiel an.
c) Die Menge { [mm] \bruch{1}{k} [/mm] | k [mm] \in \IN [/mm] \ {0} } ist kompakt. |
Also kompakt heißt ja abgeschlossen und beschränkt. Also beschränkt ist sie auf jeden Fall, weil die Folge kann nur [mm] \le [/mm] 1 sein. Und abgeschlossen müsste sie auch sein, weil sie ja alle Randpunkte enthält. Folglich ist sie kompakt und die Aussage ist richtig. Hab ich Unrecht?
Gruß David
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Mi 02.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Wahr oder falsch? Geben Sie bei wahren Aussagen eine
> Begründung, bei falschen Aussagen ein passendes
> Gegenbeispiel an.
> c) Die Menge [mm] $\{ \bruch{1}{k} \: | k \:\in \IN \ {0} \}$ [/mm] ist
> kompakt.
> Also kompakt heißt ja abgeschlossen und beschränkt. Also
> beschränkt ist sie auf jeden Fall, weil die Folge kann nur
> [mm]\le[/mm] 1 sein. Und abgeschlossen müsste sie auch sein, weil
> sie ja alle Randpunkte enthält. Folglich ist sie kompakt
> und die Aussage ist richtig. Hab ich Unrecht?
Ich nehme an du sollst die Menge als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] betrachten, das müsste eigentlich dabei stehen.
Du hast Unrecht. Zwei Möglichkeiten das zu zeigen:
1. Eine Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] ist ja genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist. Bezeichne [mm] $C\:$ [/mm] das Komplement der betrachteten Menge, dann gilt $0 [mm] \in [/mm] C$. Es existiert jedoch kein [mm] $\epsilon [/mm] > 0: [mm] K_\epsilon(0) \subset [/mm] C$ (kannst du das zeigen?). Damit ist [mm] $C\:$ [/mm] nicht offen, also die von dir betrachtete Menge nicht abgeschlossen.
2. Jede Folge in einem Kompaktum besitzt einen Häufungswert, der zum Kompaktum gehört. Bezeichne [mm] $K\:$ [/mm] die von dir betrachtete Menge. Dann ist die Folge [mm] $\left(\frac{1}{k}\right)_{k \in \IN}$ [/mm] ganz in K enthalten. Ihr einziger Häufungspunkt 0 liegt jedoch nicht in K. Damit ist K nicht kompakt.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:35 Do 03.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also das mti dem Komplemet ist schon ein guter Beweis. Also, da die Null in der Folge nicht enthalten ist, muss sie im Komplement sein, das leuchtet mir ein. Nur nochmal zum Verständnis, der Rand dieser Menge ist die 0 aber auch die 1 oder? Ich versteh jetzt nich warum es kein [mm] \epsilon [/mm] > 0: [mm] K_\epsilon(0) \subset [/mm] C gibt. Und was hat das mit dem Beweis zu tun? Man muss doch nur zeigen, dass die Menge nicht alle ihre Randpunkte enthält oder? Also, dass 0 [mm] \not\in [/mm] der Menge ist richtig?:O
|
|
|
| |
|
Hi David,
> Also das mti dem Komplemet ist schon ein guter Beweis.
> Also, da die Null in der Folge nicht enthalten ist, muss
> sie im Komplement sein, das leuchtet mir ein. Nur nochmal
> zum Verständnis, der Rand dieser Menge ist die 0 aber auch
> die 1 oder?
Richtig. Die 1 gehört offensichtlich zur Menge K=$ [mm] \{ \bruch{1}{k} \: | k \:\in \IN \ {0} \} [/mm] $, also ist die 0 interessant.
> Ich versteh jetzt nich warum es kein [mm]\epsilon[/mm] >
> 0: [mm]K_\epsilon(0) \subset[/mm] C gibt. Und was hat das mit dem
> Beweis zu tun?
Es soll gezeigt werden, dass die Komplementmenge C offen ist. Das 0 zu C gehört ist klar. Damit C offen ist, muss 0 ein innerer Punkt von C sein, denn andernfalls liegt 0 auf dem Rand und somit wäre C nicht offen.
Wenn es eine [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um 0 in der Komplementmenge gäbe (nichts anderes bedeutet die Schreibweise [mm] $K_\epsilon(0) \subset [/mm] C$), so wäre gezeigt, dass 0 kein Randpunkt von C sein kann, da dann 0 von Punkten der Menge umgeben wäre.
Es soll gezeigt werden, dass es keine solche Kugel gibt. Dazu Widerspruchsbeweis.
Angenommen es gäbe ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit [mm] $K_\epsilon(0) \subset [/mm] C$. Dann musst zu zeigen, dass auch in dieser speziellen Kugel [mm] K_\epsilon(0) [/mm] ein Wert liegt, der nicht zum Komplement C gehört.
> Man muss doch nur zeigen, dass die Menge
> nicht alle ihre Randpunkte enthält oder? Also, dass 0
> [mm]\not\in[/mm] der Menge ist richtig?:O
Das ist die 2. Variante, die Lippel vorgeschlagen hat. Es ist dir überlassen, was du zeigst, die Beweise sind am Ende gleichwertig.
Gruß
|
|
|
|
