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| Aufgabe | | Zeige: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*(\wurzel[n]{a}-1)=log(a) [/mm] |
Als Tipp steht dabei, dass für [mm] f(x)=a^{x} [/mm] f'(1)= log(a) ist. Ich finde leider keinen Ansatz, die Gleichung zu beweisen. Bitte daher um Hilfe.
Lg,
Tsetsefliege
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tsetsefliege!
Substituiere hier [mm]x \ := \ \bruch{1}{n}[/mm] (damit wird der Grenzwert betrachtet für [mm]x\rightarrow 0^+[/mm] ).
Dann entsteht hier exakt der Differentialquotient für [mm]f'(0)_[/mm] der Funktion [mm]f(x) \ = \ a^x[/mm] .
Gruß
Loddar
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Danke für deine Antwort, nur stehe ich gerade bei folgendem Ausdruck auf der Leitung:
[mm] \limes_{\bruch{1}{x}\rightarrow\infty}\bruch{1}{x}*(a^{x}-1)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tsetsefliege!
Hast Du Dir meine Antwort auch (aufmerksam) durchgelesen? ... Mir scheint nämlich eher nicht.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:46 Do 10.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Mit [mm] $f(x):=a^x$ [/mm] ist
[mm] \bruch{1}{x}(a^x-1)= \bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
Schaffst Du es damit, von der Leitung runter zu kommen ?
FRED
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Ok, ich denke nun habe ich es:
Differentialquotient ist ja folgendermaßen definiert:
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}))}{\Delta x}=f'(x_{0})
[/mm]
Darauf folgt also, dass der Limes von meinem Beispiel genau f'(0) ist. Und das ist log(a)
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Hallo,
> Ok, ich denke nun habe ich es:
>
> Differentialquotient ist ja folgendermaßen definiert:
> [mm]\limes_{\Delta x\rightarrow\ 0}\bruch{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}))}{\Delta x}=f'(x_{0})[/mm]
Hier ist [mm] x_0=0
[/mm]
>
> Darauf folgt also, dass der Limes von meinem Beispiel genau
> f'(0) ist. Und das ist log(a)
Das ist richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
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