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Forum "Stochastik" - Konvergenz
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Konvergenz: konvergent f.s., stochastisch
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:36 Fr 08.07.2011
Autor: mikexx

Aufgabe
Hallo, liebe Helfer!

Zu zeigen ist:

fast sicher konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] stochastisch konvergent


Wer kann mir helfen, folgenden Beweis zu verstehen?

Beweis:

Für jedes [mm]\varepsilon > 0 [/mm] gilt

[mm] P(\vert Y_n-Y\vert \geq \varepsilon)\leq P(\sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon)\to P(\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon \text{für unendlich viele k})\leq P(Y_n\not\to Y)[/mm]

Dies ist ein Beweis, den ich gefunden habe; leider verstehe ich so Manches daran nicht.

Ich fange mal an:

Das erste [mm]\leq [/mm] gilt wohl, weil [mm]\vert Y_n-Y\vert \subseteq \sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert[/mm] und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Nun ist es so, dass [mm] \sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert \geq \sup_{k\geq n+1}\vert Y_k-Y\vert [/mm] gilt. Somit handelt es sich um eine fallende Folge und man kann bei der Limesbildung ([mm]n\to\infty[/mm]) das Limes "hereinziehen".

Dann bin ich bei [mm]P(\lim_{n\to\infty}\sup_{k\geq n}\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon)[/mm].

Für unendlich viele k kommt dann da heraus:

[mm]P(\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon [/mm], denn das ist ja der Limes superior und dieser ist ja nach Definition:

[mm] \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon [/mm], wo herauskommt:

[mm]\vert Y_k-Y\vert \geq \varepsilon[/mm], wobei k unendlich groß ist bzw. gegen Unendlich geht.

[So erkläre ich mir also das, was hinter dem [mm] \to [/mm] [/mm] steht.]


Ist das bis hier korrekt?

Wie erklärt sich das allerletzte [mm]\leq [/mm]?

Kann man sagen:
Da man ja davon ausgeht, dass Konvergenz fast überall vorliegt, streben die [mm] Y_k [/mm] gegen Y und da [mm] k\geq [/mm] n ist, ist

[mm][mm] \vert Y_k-Y\vert \subseteq \vert Y_n-Y\vert [/mm] für unendlich viele k und also folgt das letzte [mm]\leq [/mm] wegen der Monotonie des W.-Maßes, also

[mm]...\leq P(\vert Y_n-Y\vert \geq \varepsilon)=P(Y_n\not\to Y)=0 [/mm] n.V.



Das sind meine Ideen zu dem obigen Beweis.
Wer kann mir sagen, ob ich korrekt liege und mich verbessern?

Vielen Dank!




        
Bezug
Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 10.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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