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| Aufgabe | Untersuchen Sie die nachstehenden Reihen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls den
Grenzwert.
[mm] \summe_{n=1}^{unendlich} \bruch{n}{(n+1)*(n+2)}
[/mm]
Wäre schön wenn mir jemand helfen könnte. |
Ich hab die frage nirgendwo gestellt.
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moin,
Kennst du Partialbruchzerlegung?
Suche dir mal Zahlen a,b, sodass gilt:
[mm] $\frac{n}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \frac{a}{n+1} [/mm] + [mm] \frac{b}{n+2}$
[/mm]
Löst du das kriegst du hier zwei sogar schön glatte Werte für a und b raus.
Versuch mal dann deine neue Reihe auf Konvergenz zu überprüfen (Tipp: schätze sie geschickt ab).
Du kannst vielleicht auch ohne Partialbruchzerlegung, bei der Reihe in der jetzigen Form, mit einer geschickten Abschätzung zum Ziel kommen, aber ich finde wenn man das in eine Summe von zwei Brüchen zerlegt fällt das Abschätzen doch deutlich leichter.
(ggf. musst du ein paar Elemente aus der Summe rausziehen oder ein wenig mit dem Index rumspielen, um tatsächlich mit dem gewünschten Ziel abzuschätzen, aber das schaffst du schon ;) )
lg
Schadow
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PBZ fällt mir ein wenig schwer.
Gibt es einen anderen Weg?
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Wie gesagt, abschätzen.
Ob du die Reihe in deiner Form abgeschätzt kriegst ist so die Frage, aber...^^
Zur PBZ:
Wenn der Nenner (wie hier) so schön faktorisiert ist schreibst du halt einzelne Brüche als Summe hin, wie ich es oben gemacht habe.
Also es wird erst einmal angenommen es gibt a und b, die folgende Gleichung lösen:
$ [mm] \frac{n}{(n+1)(n+2)} [/mm] = [mm] \frac{a}{n+1} [/mm] + [mm] \frac{b}{n+2} [/mm] $
Erweitert man nun mit dem Hauptnenner (der auf beiden Seiten gleich ist, deshalb ist es ja so wichtig, dass er sich faktorisieren lässt) steht da:
n = a(n+2) + b(n+1) [mm] $\gdw$
[/mm]
n = an + 2a +bn + b [mm] $\gdw$
[/mm]
n = (a+b)n + (2a+b)
Nun werden die Vorfaktoren verglichen.
Denn egal wie oft du Zahlen addierst, du wirst nie ein n rauskriegen.
Es muss also gelten: n= (a+b)n, somit also:
a+b = 1
Weiterhin muss der zweite Teil 0 werden, also:
2a+b = 0
hättest du hier noch ein [mm] $n^2$ [/mm] im Term so müsstest du auch dieses ausklammern und hier entsprechend die Vorfaktoren betrachten, denn egal wie oft man n aufaddiert, man kommt doch nie auf [mm] $n^2$.
[/mm]
In diesem Fall hast du also folgendes LGS zu lösen:
a+b = 1
2a + b = 0
Das dürfte nicht all zu viele Probleme machen, Lösung ist:
a = -1, b = 2
Die Partialbruchzerlegung sieht ein wenig böse aus, ja, aber sie ist an sich garnicht so schwer.
Nun hast du also als neue Reihe:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \frac{-1}{n+1} [/mm] + [mm] \frac{2}{n+2}$
[/mm]
Das riecht ja schon stark nach harmonischer Reihe, also guck mal ob du es schaffst diese Reihe nach unten mit der harmonischen Reihe abzuschätzen.
lg
Schadow
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Kannst du mir erklären wie du auf das hier:
n = (a+b)n + (2a+b)
GEKOMMEN bIST:
Konnte das hier nicht nachvollziehen.
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Hallo Elektro21,
> Kannst du mir erklären wie du auf das hier:
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> n = (a+b)n + (2a+b)
> GEKOMMEN bIST:
>
> Konnte das hier nicht nachvollziehen.
Das ist ein Vergleich der Zähler linkerhand und rechterhand nach dem Erweitern.
Da steht doch nach dem Erweitern [mm]\frac{n}{(n+1)(n+2)}=\frac{a(n+2)+b(n+1)}{(n+1)(n+2)}[/mm]
Rechterhand den Zähler noch zusammengefasst und dann mit dem linkerhand verglichen. (Beachte: linkerhand steht [mm]n=\red{1}\cdot{}n+\blue{0}[/mm])
Das nennt sich Koeffizientenvergleich.
Das ganze Gedöhns mit PBZ brauchst du aber doch hier für die Konvergenzuntersuchung der Reihe [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)(n+2)}[/mm]
Die Reihe ist doch von der Größenordnung [mm]\sum\frac{1}{n}[/mm], und das ist die bekannteste divergente Reihe überhaupt, die .....
Schätze also deine Ausgangsreihe gegen eine divergente Minorante, also eine kleinere divergente Reihe der Form [mm]M\cdot{}\sum\frac{1}{n}[/mm] ab.
Das ist eine Standardaufgabe für das Vergleichskriterium (Majoranten-/Minorantenkriterium) für die Konvergenzuntersuchung von Reihen
Gruß
schachuzipus
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