Konvergenz < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 20.11.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Konvergenz der Folge [mm] (z_n)_n [/mm] in [mm] \IC [/mm] gegeben durch
[mm] z_n=\left \bruch{3n^4+n^2+n(-1)^n}{2n^4+i^n+n^2} \right [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] und bestimmen Sie den Grenzwert. |
Also ich würde erstmal durch die höchste Potenz teilen, sprich durch [mm] n^4.
[/mm]
[mm] z_n=\left \bruch{3+1/n^2+(-1)^n/n^3}{2+i^n/n^4+1/n^2}
Jetzt würde ich eben den Limes einzeln ziehen. Also fällt 1/n^2 raus.
Nur wie gehe ich mit den anderen Brüchen um? Da steht ja im Zähler und im Nenner ein n.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 So 20.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie die Konvergenz der Folge [mm](z_n)_n[/mm] in [mm]\IC[/mm] gegeben
> durch
>
> [mm]z_n=\left \bruch{3n^4+n^2+n(-1)^n}{2n^4+i^n+n^2} \right[/mm]
> für n [mm]\in \IN[/mm] und bestimmen Sie den Grenzwert.
> Also ich würde erstmal durch die höchste Potenz teilen,
> sprich durch [mm]n^4.[/mm]
>
> [mm]z_n=\left \bruch{3+1/n^2+(-1)^n/n^3}{2+i^n/n^4+1/n^2}
Jetzt würde ich eben den Limes einzeln ziehen. Also fällt 1/n^2 raus.
Nur wie gehe ich mit den anderen Brüchen um? Da steht ja im Zähler und im Nenner ein n.[/mm]
>
Bis auf die 3 und die 2 stehen oben Nullfolgen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 20.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Hab ich mir auch gedacht, aber diese [mm] (-1)^n. [/mm] Das geht ja entweder gegen 1 oder -1, wie kann ich das mathematisch umformen, dass nur die 1 bleibt? Wenn ich den gesamten Bruch quadrieren würde, dann ist das ja nicht mehr gleich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 20.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Hab ich mir auch gedacht, aber diese [mm](-1)^n.[/mm] Das geht ja
> entweder gegen 1 oder -1, wie kann ich das mathematisch
> umformen, dass nur die 1 bleibt? Wenn ich den gesamten
> Bruch quadrieren würde, dann ist das ja nicht mehr gleich.
Da steht doch [mm] $(-1)^n/n^3$ [/mm] und dies ist eine Nullfolge.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:23 So 20.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, ok, nehme ich hin, danke euch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 20.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Wobei, was passiert denn mit [mm] i^n/n^4?
[/mm]
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Hallo hubbel,
> Wobei, was passiert denn mit [mm]i^n/n^4?[/mm]
Das ist eine Nullfolge:
[mm] |i^n/n^4|=1/n^4\to0,n\to\infty.
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 20.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Das verstehe ich nicht ganz, wieso ist der Betrag von i gleich 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 So 20.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Zeiche i=0+1i mal ein. Spätestens dann solltest du es sehen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 So 20.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Ah, ich sehs, danke. Letzte Frage: Warum darf ich einfach den Betrag da ziehen? Bin noch nicht ganz drin in dem Thema, aber hab es so verstanden, dass wenn ich den Limes von n gegen unendlich bilde, ich auch [mm] |z_n-0|
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 So 20.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
In einem Bruch gilt:
[mm] \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 20.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> Ah, ich sehs, danke. Letzte Frage: Warum darf ich einfach
> den Betrag da ziehen? Bin noch nicht ganz drin in dem
> Thema, aber hab es so verstanden, dass wenn ich den Limes
> von n gegen unendlich bilde, ich auch [mm]|z_n-0|
> schreiben darf, stimmt das?
Ja. Die komplexe Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] ist genau dann eine Nullfolge, wenn die reelle Folge
[mm] $(|z_n-0|)$ [/mm] eine Nullfolge ist. Dies ergibt sich direkt aus der [mm] $\epsilon$-Definition [/mm] der Konvergenz.
Noch zur Frage mit [mm] $|i^n|=1$:
[/mm]
Es ist [mm] $\,i=0+1*i$, [/mm] also ist der Realteil von $i$, [mm] $\Re(i)=0$, [/mm] und der Imaginärteil [mm] $\Im(i)=1$.
[/mm]
Nach Definition des Betrages komplexer Zahlen ist nun
[mm] $|i|=\sqrt {\Re (i)^2+\Im(i)^2}=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
[/mm]
Damit ergibt sich [mm] $|i^n|=|i|^n=1^n=1$.
[/mm]
Überzeugt das?
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 So 20.11.2011 | | Autor: | hubbel |
Jetzt weiß ich echt Bescheid, danke euch.
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