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| Aufgabe | Sei M eine beschränkte Teilmenge des normierten Raumes (C1([0; 1]); C1([0;1])-Norm).
(1) Zeige, dass es ein L < 1 gibt, so dass für alle f [mm] \in [/mm] M und
x, y [mm] \in [/mm] [0; 1] gilt
(*) |f(x) - f(y)| <= L*|x-y|:
(2) M totalbeschränkt als Teilmenge von (C0([0; 1]); sup-Norm).
(3) Zeige, dass jede Folge in M eine in (C0([0; 1]); sup-Norm) konvergente Teilfolge besitzt und dass für den Grenzwert (*) gilt. |
Hallo,
1 und 2 habe ich bereits gezeigt. Bei 3 habe ich gezeigt, dass es eine konvergente Teilfolge in [mm] \overline{M} [/mm] gibt. Jetzt muss ich also noch zeigen, dass [mm] \overline{M} [/mm] eine Teilmenge von C1([0,1]) ist. Wie kann ich dies zeigen?
Zudem muss ich noch zeigen, dass die konvergente Teilfolge in (C0([0; 1]); sup-Norm) konvergiert, also gleichmäßige Konvergenz. Dazu kann ich die punktweise Konvergenz verwenden, allerdings komme ich da nicht weiter.
Vielen Dank.
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 07.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Katrin!
> Sei M eine beschränkte Teilmenge des normierten Raumes
> (C1([0; 1]); C1([0;1])-Norm).
> (1) Zeige, dass es ein L < 1 gibt, so dass für alle f [mm]\in[/mm]
> M und
> x, y [mm]\in[/mm] [0; 1] gilt
> (*) |f(x) - f(y)| <= L*|x-y|:
> (2) M totalbeschränkt als Teilmenge von (C0([0; 1]);
> sup-Norm).
> (3) Zeige, dass jede Folge in M eine in (C0([0; 1]);
> sup-Norm) konvergente Teilfolge besitzt und dass für den
> Grenzwert (*) gilt.
> Hallo,
> 1 und 2 habe ich bereits gezeigt. Bei 3 habe ich gezeigt,
> dass es eine konvergente Teilfolge in [mm]\overline{M}[/mm] gibt.
Mit Hilfe von (2), nehme ich an.
> Jetzt muss ich also noch zeigen, dass [mm]\overline{M}[/mm] eine
> Teilmenge von C1([0,1]) ist. Wie kann ich dies zeigen?
Folgt das nicht unmittelbar aus der Vollständigkeit von [mm] $C^1([0,1])$ [/mm] ? Vorausgesetzt, du meinst mit [mm] $\overline{M}$ [/mm] den Abschluss von M in [mm] $C^1([0,1])$ [/mm] (also bzgl. der [mm] $C^1([0,1])$-Norm).
[/mm]
> Zudem muss ich noch zeigen, dass die konvergente Teilfolge
> in (C0([0; 1]); sup-Norm) konvergiert, also gleichmäßige
> Konvergenz. Dazu kann ich die punktweise Konvergenz
> verwenden, allerdings komme ich da nicht weiter.
In [mm] $C^1([0,1])$ [/mm] hast du die Norm
[mm] \|f\|_1 = \sup_{0\le x\le 1} (|f(x)|+ |f'(x)|) [/mm] ,
und in [mm] $C^0([0,1])$ [/mm] hast du die Supremumsnorm
[mm] \|f\|_0 = \sup_{0\le x\le 1} |f(x)| [/mm] .
Also ist [mm] $\|f\|_0 \le \|f\|_1$, [/mm] und Konvergenz bzgl. der [mm] $C^1([0,1])$-Norm [/mm] impliziert Konvergenz bzgl der Supremumsnorm.
Ich bin mir nicht ganz sicher: Ist es nicht einfacher, direkt aus der Vollständigkeit von [mm] $C^0([0,1])$ [/mm] (Banachraum!) zu folgern, dass der Abschluss von M in [mm] $C^0([0,1])$ [/mm] (also bezüglich der Supremumsnorm) eine Teilmenge von [mm] $C^0([0,1])$ [/mm] ist?
Ganz nebenbei:
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 07.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Darf ich annehmen, dass auf dem Abschluss von M die [mm] C^1-Norm [/mm] definiert ist. Eigentlich müsste ich doch erst zeigen, dass der Abschluss von M wirklich eine Teilmenge von C1([0,1]) ist. In Banachräumen gilt: eine Folge ist Cauchy-Folge genau dann wenn sie konvergiert. Allerdings komme ich damit nicht weiter.
Katrin
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> Hallo,
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort. Darf ich annehmen,
> dass auf dem Abschluss von M die [mm]C^1-Norm[/mm] definiert ist.
Nein. Die Folge konvergiert in [mm] C^0, [/mm] also bezüglich der Supremumsnorm. Damit liegt der Grenzwert im Abschluss von M in [mm] C^0.
[/mm]
> Eigentlich müsste ich doch erst zeigen, dass der Abschluss
> von M wirklich eine Teilmenge von C1([0,1]) ist. In
> Banachräumen gilt: eine Folge ist Cauchy-Folge genau dann
> wenn sie konvergiert. Allerdings komme ich damit nicht
> weiter.
>
> Katrin
Das Argument sollte so gehen: Da M in [mm] C^0 [/mm] totalbeschränkt ist, gibt es eine Teilfolge, die in [mm] C^0 [/mm] Cauchy-Folge ist. Da [mm] C^0 [/mm] vollständig ist, konvergiert diese Teilfolge in [mm] C^0, [/mm] d.h. bezüglich der sup-Norm mit Grenzwert in [mm] C^0. [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Do 08.12.2011 | | Autor: | katrin10 |
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 09.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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