KonvergenzGrenzwert von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:06 Do 12.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert und berechnen sie ihren Grenzwert
[mm] \summe_{n\ge 0}^{} (\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{3^{k}} \bruch{1}{2^{n-k}}) [/mm] |
Mir ist irgendwie nicht klar,wie ich da ansetzen soll.
Wir brauchen doch an sich eine geometrische Reihe um das z.B. mit der Formel den Grenzwert berechnen zu können.
Wie form ich das zu einer geometrischen Reihe um?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG Gnocchi
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Hallo Gnocchi,
> Zeigen Sie, dass die folgende Reihe konvergiert und
> berechnen sie ihren Grenzwert
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> [mm]\summe_{n\ge 0}^{} (\summe_{k=0}^{n} \bruch{1}{3^{k}} \bruch{1}{2^{n-k}})[/mm]
>
> Mir ist irgendwie nicht klar,wie ich da ansetzen soll.
> Wir brauchen doch an sich eine geometrische Reihe um das
> z.B. mit der Formel den Grenzwert berechnen zu können.
> Wie form ich das zu einer geometrischen Reihe um?
Nutze die Potenzgesetze, es ist
[mm]\frac{1}{3^k}\cdot{}\frac{1}{2^{n-k}}=\frac{1}{2^n}\cdot{}\left(\frac{2}{3}\right)^k[/mm]
Den ersten Faktor kannst du rausziehen, da er nicht vom Laufindex der inneren Summe, also k, abhängt.
Damit kommst du sicher weiter ..
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> MfG Gnocchi
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Do 12.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> Nutze die Potenzgesetze, es ist
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> [mm]\frac{1}{3^k}\cdot{}\frac{1}{2^{n-k}}=\frac{1}{2^n}\cdot{}\left(\frac{2}{3}\right)^k[/mm]
>
> Den ersten Faktor kannst du rausziehen, da er nicht vom
> Laufindex der inneren Summe, also k, abhängt.
>
> Damit kommst du sicher weiter ..
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Dankeschön.
Also hab dann nun die Formel [mm] \summe_{k=0}^{n} q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] angewandt.
Dann hab ich:
[mm] \bruch{1-(\bruch{1}{2^{n}}*(\bruch{2}{3})^{k})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{2^{n}}*(\bruch{2}{3})^{k}}
[/mm]
Wenn ich es nun richtig ausgerechnet habe, kommt dann:
[mm] 1-(\bruch{1}{2^{n}}*(\bruch{2}{3})^{k})^{n} [/mm] raus.
Kommt das hin?
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Hallo nochmal,
> > Nutze die Potenzgesetze, es ist
> >
> >
> [mm]\frac{1}{3^k}\cdot{}\frac{1}{2^{n-k}}=\frac{1}{2^n}\cdot{}\left(\frac{2}{3}\right)^k[/mm]
> >
> > Den ersten Faktor kannst du rausziehen, da er nicht vom
> > Laufindex der inneren Summe, also k, abhängt.
> >
> > Damit kommst du sicher weiter ..
>
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Dankeschön.
>
> Also hab dann nun die Formel [mm]\summe_{k=0}^{n} q^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] angewandt.
Jo!
>
> Dann hab ich:
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> [mm]\bruch{1-(\bruch{1}{2^{n}}*(\bruch{2}{3})^{k})^{n+1}}{1-(\bruch{1}{2^{n}}*(\bruch{2}{3})^{k}}[/mm]
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> Wenn ich es nun richtig ausgerechnet habe, kommt dann:
>
> [mm]1-(\bruch{1}{2^{n}}*(\bruch{2}{3})^{k})^{n}[/mm] raus.
>
> Kommt das hin?
Nein, ich hatte doch geschrieben, dass du erstmal den Faktor [mm] $\frac{1}{2^n}$ [/mm] rausziehen sollst.
Jetzt habe ich es rot markiert, vielleicht liest du es dann ...
Danach dann mit der Formel loslegen
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Do 12.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
> Nein, ich hatte doch geschrieben, dass du erstmal den
> Faktor [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] rausziehen sollst.
>
> Jetzt habe ich es rot markiert, vielleicht liest du es dann
> ...
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> Danach dann mit der Formel loslegen
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Ich sehe irgendwie nicht wie ich das rausziehen soll...Für mich sieht das schon rausgezogen aus.
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Hallo nochmal,
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> > Nein, ich hatte doch geschrieben, dass du erstmal den
> > Faktor [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] rausziehen sollst.
> >
> > Jetzt habe ich es rot markiert, vielleicht liest du es dann
> > ...
> >
> > Danach dann mit der Formel loslegen
> >
> > Gruß
>
> >
> > schachuzipus
> >
> Ich sehe irgendwie nicht wie ich das rausziehen soll...Für
> mich sieht das schon rausgezogen aus.
Aus der (inneren) Summe rausziehen!
[mm]\sum\limits_{n\ge 0} \ \sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot{}\left(\frac{2}{3}\right)^k \ = \ \sum\limits_{n\ge 0}\left(\frac{1}{2}\right)^n \ \sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{2}{3}\right)^k[/mm]
[mm]= \ \sum\limits_{n\ge 0}\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot{}\frac{1-\left(2/3\right)^{n+1}}{1-2/3} \ = \ \ldots[/mm]
Jetzt aber ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Do 12.01.2012 | | Autor: | Gnocchi |
Achso...Das hatte ich schon gar nicht mehr im Blick...Ich dachte mir schon was ich da rausziehen soll.
Dann bekomm ichs nun hin. Dankeschön :)
MfG Gnocchi
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