www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisKonvergenz - richtig so?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis" - Konvergenz - richtig so?
Konvergenz - richtig so? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenz - richtig so?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Sa 03.12.2005
Autor: roxy

Hallo,
kann jemand bitte überprüfen, ob ich die folgende Aufgabe richtig gelöst habe?:
"Beweise Konvergenz (mit Angabe einer konvergenten Majoranten, oder Divergenz:

a)  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k [/mm]
b)  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k} [/mm]

ich weiss, dass
für [mm] |a_{k}| \le c_{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}c_{k} [/mm] - konvergent, dann ist auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] absolut konvergent

[mm] \Rightarrow [/mm]
a) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k [/mm]
   | [mm] a_{k}| [/mm] = | [mm] (\frac{5}{k})^k [/mm] | > [mm] (\frac{1}{k})^k [/mm] > 0 [mm] (k\in\IN] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k [/mm] ist divergent und hat [mm] (\frac{1}{k})^k [/mm] als Minorant

b) [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k} [/mm]
[mm] \frac{k^5-4k^2}{k^5+k} [/mm] = [mm] \frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}} [/mm] < [mm] \frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}} [/mm] < 1  [mm] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k} [/mm] ist absolut konvergent

mit Majorant  [mm] \frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}} [/mm]

ist das richtig so?
Danke!
roxy

        
Bezug
Konvergenz - richtig so?: Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Sa 03.12.2005
Autor: leduart

Hallo roxy
> Hallo,
>  kann jemand bitte überprüfen, ob ich die folgende Aufgabe
> richtig gelöst habe?:
>  "Beweise Konvergenz (mit Angabe einer konvergenten
> Majoranten, oder Divergenz:
>  
> a)  [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
>  b)  [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
>  
> ich weiss, dass
> für [mm]|a_{k}| \le c_{k}[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] -
> konvergent, dann ist auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> absolut konvergent

Das muss aber nicht für alle k gelten, sondern nur ab irgend einem endlichen N, und dann für alle k>N!  

> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  a) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]

Du meinst doch die Summe über k?

>     | [mm]a_{k}|[/mm] = | [mm](\frac{5}{k})^k[/mm] | > [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] > 0

> [mm](k\in\IN] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
> ist divergent und hat [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] als Minorant

warum divergiert denn  [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{k})^k [/mm]
das konvergiert doch! also keine Minorante!

> b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
>  [mm]\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm] =
> [mm]\frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}}[/mm] < [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]
> < 1  [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
> ist absolut konvergent
>
> mit Majorant  [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]

die [mm] a_{k} [/mm] konvergieren doch schon gegen 1, Die Summe muss also divergieren!  Irgndwie hast du Konvergenz der Folge [mm] c_{k} [/mm] (hier gegen 1) mit der Konvergenz der Reihe durcheinander gebracht.

> ist das richtig so?

Leider nicht! guck die Reihen noch mal an!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Konvergenz - richtig so?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:05 Sa 03.12.2005
Autor: roxy


> Hallo roxy
>  > Hallo,

>  >  kann jemand bitte überprüfen, ob ich die folgende
> Aufgabe
> > richtig gelöst habe?:
>  >  "Beweise Konvergenz (mit Angabe einer konvergenten
> > Majoranten, oder Divergenz:
>  >  

beide Summe gehen über k
a)  [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
b)  [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]

>  >  
> > ich weiss, dass
> > für [mm]|a_{k}| \le c_{k}[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{\infty}c_{k}[/mm] -
> > konvergent, dann ist auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm]
> > absolut konvergent
>  Das muss aber nicht für alle k gelten, sondern nur ab
> irgend einem endlichen N, und dann für alle k>N!  
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
>  >  a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
>  Du meinst doch die Summe über k?
>  >     | [mm]a_{k}|[/mm] = | [mm](\frac{5}{k})^k[/mm] | > [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] > 0

> > [mm](k\in\IN] \Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{5}{k})^k[/mm]
> > ist divergent und hat [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] als Minorant
>
> warum divergiert denn  
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{k})^k[/mm]
>  das konvergiert doch! also keine Minorante!

zwar konvergiert mein [mm] c_{k}, [/mm] aber die 2. Bedienung: [mm] a_{k} \le c_{k} [/mm] ist nicht erfüllt (| [mm]a_{k}|[/mm] = | [mm](\frac{5}{k})^k[/mm] | > [mm](\frac{1}{k})^k[/mm] > 0)...deswegen hab ich angenommen, dass die Reihe divergiert?!...

>  > b) [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]

>  >  [mm]\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm] =

stimmt, mein [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}} [/mm] konvergiert gegen 1, das hab ich gar nicht gesehen...muss mir die Reihe nochmals ansehen!
Vielen Dank

> > [mm]\frac{1-\frac{4}{k^3}}{1+\frac{1}{k^4}}[/mm] < [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]
> > < 1  [mm]\Rightarrow \summe_{i=1}^{\infty}\frac{k^5-4k^2}{k^5+k}[/mm]
> > ist absolut konvergent
> >
> > mit Majorant  [mm]\frac{1}{1+ \frac{1}{k^4}}[/mm]
>  die [mm]a_{k}[/mm]
> konvergieren doch schon gegen 1, Die Summe muss also
> divergieren!  Irgndwie hast du Konvergenz der Folge [mm]c_{k}[/mm]
> (hier gegen 1) mit der Konvergenz der Reihe durcheinander
> gebracht.
>  > ist das richtig so?

>  Leider nicht! guck die Reihen noch mal an!
>  Gruss leduart

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz - richtig so?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Fr 09.12.2005
Autor: Julius

Hallo!

Du könntest es zum Beispiel so machen:

Für $k [mm] \ge [/mm] 6$ gilt:

[mm] $\left( \frac{5}{k} \right)^k \le \left( \frac{5}{6} \right)^k$, [/mm]

und die (geometrische) Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} q^k$ [/mm] mit $q:= [mm] \frac{5}{6} [/mm] <1$ konvergiert, also auch [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left( \frac{5}{k} \right)^k$, [/mm] nach dem Majorantenkriterium.

Liebe Grüße
Julius

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]