Konvergenz/Cauchy Produkt < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben seien die Potenzreihen
[mm] A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}x^{n} [/mm] und [mm] B(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}x^{n}
[/mm]
a) Für welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergieren diese Potenzreihen?
b) Berechnen Sie die Koeffizienten [mm] c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},c_{4} [/mm] des Cauchyproduktes
[mm] \summe_{n=0}c_{n}x^{n}=A(x)B(x) [/mm] |
a)
zu A(x): hier habe ich mittels Wurzelkriterium einen Konvergenradius von [mm] \delta=\infty [/mm] berechnet das Konvergenzintervall ist dann [mm] (-\infty,\infty)
[/mm]
Somit konvergiert A(x) für alle [mm] x\in\IR [/mm] //stimmt das soweit?
Dachte mir hier muss ich keine Betrachtung machen für [mm] |x|=\delta, [/mm] da [mm] \delta=\infty
[/mm]
zu B(x): mittels Quotientenkriterium ergibt sich ein Konvergenzradius von [mm] \delta=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Reihe divergiert für [mm] |x|>\delta
[/mm]
[mm] |x|=\delta:
[/mm]
x=2: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}2^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( da [mm] a_{n}=n [/mm] keine monoton fallende nullfolge) // ist das richtig argumentiert?
x=-2: [mm] ...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n}n \Rightarrow [/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( wie oben)
Somit konvergiert B(x) für x [mm] \in [/mm] (-2,2) //lieg ich hier richtig?
b)
hier komm ich nicht wirklich weit
vorgegangen bin ich folgendermaßen:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j))
[/mm]
an dieser Stelle komm ich jetzt aber nicht mehr weiter
bei bisherigen Aufgaben die wir hatten "ist j immer verschwunden", was hier aber nicht der fall ist
was muss man jetzt tun?
oder hab ich mich einfach nur verrechnet?
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Hallo Martin_Ph,
> Gegeben seien die Potenzreihen
> [mm]A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}x^{n}[/mm] und
Hier ist eine Vereinbarung zu treffen wie [mm]n^{-n}[/mm] für n=0 definiert ist.
> [mm]B(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}x^{n}[/mm]
>
> a) Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergieren diese Potenzreihen?
> b) Berechnen Sie die Koeffizienten
> [mm]c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}[/mm] des Cauchyproduktes
> [mm]\summe_{n=0}c_{n}x^{n}=A(x)B(x)[/mm]
> a)
>
> zu A(x): hier habe ich mittels Wurzelkriterium einen
> Konvergenradius von [mm]\delta=\infty[/mm] berechnet das
> Konvergenzintervall ist dann [mm](-\infty,\infty)[/mm]
>
> Somit konvergiert A(x) für alle [mm]x\in\IR[/mm] //stimmt das
> soweit?
> Dachte mir hier muss ich keine Betrachtung machen für
> [mm]|x|=\delta,[/mm] da [mm]\delta=\infty[/mm]
>
>
> zu B(x): mittels Quotientenkriterium ergibt sich ein
> Konvergenzradius von [mm]\delta=2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] Die Reihe divergiert für [mm]|x|>\delta[/mm]
>
> [mm]|x|=\delta:[/mm]
>
> x=2:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}2^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( da [mm]a_{n}=n[/mm]
> keine monoton fallende nullfolge) // ist das richtig
> argumentiert?
>
> x=-2: [mm]...=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{2n}n \Rightarrow[/mm]
> divergiert nach leibnizkriterium ( wie oben)
>
> Somit konvergiert B(x) für x [mm]\in[/mm] (-2,2) //lieg ich hier
> richtig?
>
Bis hierhin ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b)
> hier komm ich nicht wirklich weit
>
> vorgegangen bin ich folgendermaßen:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j))[/mm]
>
> an dieser Stelle komm ich jetzt aber nicht mehr weiter
> bei bisherigen Aufgaben die wir hatten "ist j immer
> verschwunden", was hier aber nicht der fall ist
>
> was muss man jetzt tun?
> oder hab ich mich einfach nur verrechnet?
Verrechnet hast Du Dich nicht.
Berechne die ersten 5 Koeffiizienten des Cauchy-Produktes.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 01:54 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > b)
> > hier komm ich nicht wirklich weit
> >
> > vorgegangen bin ich folgendermaßen:
> >
> >
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j))[/mm]
> >
> > an dieser Stelle komm ich jetzt aber nicht mehr weiter
> > bei bisherigen Aufgaben die wir hatten "ist j immer
> > verschwunden", was hier aber nicht der fall ist
> >
> > was muss man jetzt tun?
> > oder hab ich mich einfach nur verrechnet?
>
>
> Verrechnet hast Du Dich nicht.
doch, es wurde geschludert: die *innere Summe* hat nicht [mm] $\infty$ [/mm] als Grenze...
(das am Anfang auch noch der gleiche Laufvariablennamen benutzt wird,
ist formal auch falsch; aber das ist eher ein Flüchtigkeitsfehler).
Und die Variable x ist gänzlich missachtet worden...
Gruß,
Marcel
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Hatte glaub ich doch einen kleinen Fehler drin
Bekomme nun
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n})(n-j)x^{n}) [/mm] , [mm] 0^{0}:=1
[/mm]
raus
Um jetzt die ersten 5 Koeffizienten zu bestimmen muss ich doch einfach j=0,...,4 und n=0,...,4 setzen oder?
Allerdings mach ich da iwas falsch, da ich auf [mm] c_{0}=c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=0 [/mm] kommen würde
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Martin_Ph |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{n}.......
[/mm]
hatte ich vergessen auszubessern
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{j=0}^{n}.......[/mm]
> hatte ich vergessen auszubessern
sorry, hatte ich eben übersehen, dass Du dazu noch was geschrieben hast.
Aber Dein Ergebnis unten scheint ja nun eh zu stimmen, siehe
https://matheraum.de/read?i=1060214
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> siehe oben
> Hatte glaub ich doch einen kleinen Fehler drin
>
> Bekomme nun
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n}=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n})(n-j)x^{n})[/mm]
> , [mm]0^{0}:=1[/mm]
da brauche ich gar nicht weiter drüberzugucken: passe erstmal die obere
Grenze der inneren Summe an.
Die hat nämlich mit dem unteren Index der [mm] $c_{...}$ [/mm] zu tun!
Danach rechne wenigstens ein [mm] $c_k$ [/mm] detailliert vor!
Gruß,
Marcel
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Hiho,
> [mm]\Rightarrow[/mm] divergiert nach leibnizkriterium ( da [mm]a_{n}=n[/mm] keine monoton fallende nullfolge) // ist das richtig argumentiert?
wenn du mir dein Leibnitzkriterium mal erläutern konntest.
Ich kenne keines, aus dem du Divergenz schlussfolgern könntest.....
aber du hast natürlich recht: [mm] $a_n=n$ [/mm] ist keine Nullfolge, damit kann die Reihe nicht konvergieren.
Gruß,
Gono
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Naja nach Leibniz-Kriterium konvergiert eine alternierende Reihe, wenn die Folge [mm] (a_{n}) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist
da dies nicht der Fall ist dachte ich es divergiert nach Leibnitz
oder sollte man über Limes gehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> siehe oben
> Naja nach Leibniz-Kriterium konvergiert eine alternierende
> Reihe, wenn die Folge [mm](a_{n})[/mm] eine monoton fallende
> Nullfolge ist
wenn gilt:
$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
> da dies nicht der Fall ist dachte ich es divergiert nach
> Leibnitz
gilt doch noch lange nicht
[mm] $(\neg [/mm] A) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] B)$.
(Andernfalls wären $A [mm] \iff [/mm] B$-Beweise ja alleine schon durch einen $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$-Beweis
beendet; warum? Stichwort: Kontrap....)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:51 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben seien die Potenzreihen
> [mm]A(x)=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}x^{n}[/mm] und
> [mm]B(x)=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}x^{n}[/mm]
>
> a) Für welche [mm]x\in\IR[/mm] konvergieren diese Potenzreihen?
> b) Berechnen Sie die Koeffizienten
> [mm]c_{0},c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}[/mm] des Cauchyproduktes
> [mm]\summe_{n=0}c_{n}x^{n}=A(x)B(x)[/mm]
na, es gilt doch für
[mm] $A(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$
[/mm]
und
[mm] $B(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$
[/mm]
dann
[mm] $(A*B)(x)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_{n-k} x^{n-k}*b_k x^k=\sum_{\red{n}=0}^\infty \underbrace{\left(\sum_{k=0}^\red{n} a_{\red{n}-k}b_k\right)}_{=c_\red{n}} x^\red{n}$
[/mm]
Beachte dabei bitte [mm] $x^{n-k}*x^k=x^{n-k+k}=x^n$.
[/mm]
> vorgegangen bin ich folgendermaßen:
> $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}c_{n}=\summe_{n=0}^{\infty}n^{-n}\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}n2^{-n}$
[/mm]
Drei Fehler: gleiche Laufvariablennamen, und dann bei der inneren Summe
die obere Grenze! Und wo ist Dein x hin?
[mm] $=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}a_{j}b_{n-j})=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{n-j}2^{-(n-j)}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}j^{-j}(-1)^{-j}2^{-j}(-1)^{n}2^{-n}(n-j))=\summe_{n=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2j})^{j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j)) [/mm] $
Denk mal drüber nach, das stimmt so nicht. Die obere Grenze beim inneren
Summenzeichen ist zu korrigieren! Und x ist bei Dir verloren gegangen. (Da
Du das aber konsequent durchziehst, ist das mehr ein Kommentar als alles
andere. Man könnte es auch so aufschreiben, wie Du es tust; aber eigentlich
geht es halt um $(A*B)(x)=A(x)*B(x)=...$.)
Das Ganze hängt übrigens mit dem Faltungsprodukt zusammen:
https://matheraum.de/read?i=1055931
Nicht umsonst heißt das Cauchy-Produkt auch Cauchy-Faltung.
Bsp.: [mm] $a_n=n^{-n}$ [/mm] und [mm] $b_n=(-1)^nn2^{-n}$ [/mm] liefern etwa
[mm] $c_1=\sum_{k=0}^1 (1-k)^{-(1-k)}*(-1)^k [/mm] k [mm] 2^{-k}=...=0+0^{-0}*(-1)^1*1*2^{-1}=-1/2$, [/mm] sofern [mm] $0^{-0}=1\,.$
[/mm]
P.S. Du darfst auch [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] *einander vertauschen*...
Gruß,
Marcel
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Also hab es nun folgendermaßen gerechnet:
[mm] c_{n}=\summe_{j=0}^{n}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j)
[/mm]
[mm] c_{0}=0
[/mm]
[mm] c_{1}=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] c_{2}=0
[/mm]
[mm] c_{3}=0
[/mm]
[mm] c_{4}=-\bruch{1}{54}
[/mm]
stimmt das oder was hab ich diesmal übersehen/falsch gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> siehe oben
> Also hab es nun folgendermaßen gerechnet:
>
> [mm]c_{n}=\summe_{j=0}^{n}(-\bruch{j}{2})^{-j}(-\bruch{1}{2})^{n}(n-j)[/mm]
ich rechne mal nach: Mit [mm] $a_k=k^{-k}$ [/mm] (mit [mm] $0^{-0}=1/0^0=1$) [/mm] und [mm] $b_k=(-1)^kk2^{-k}$ [/mm] folgt
[mm] $c_n=\sum_{k=0}^n (n-k)^{k-n}*(-1)^kk2^{-k}$
[/mm]
Könnte man durchaus noch weiter umformen...
> [mm]c_{0}=0[/mm]
> [mm]c_{1}=-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]c_{2}=0[/mm]
> [mm]c_{3}=0[/mm]
> [mm]c_{4}=-\bruch{1}{54}[/mm]
Ich bin ein wenig rechenfaul, ich schreibe mal eine Schleife für Octave/Matlab:
| 1: | for n=1:5 % Hinweis: Feldnummerierung startet mit 1
| | 2: | c(n)=0;
| | 3: | for k=0:n-1
| | 4: | c(n)=c(n)+((n-1)-k)^(k-(n-1))*(-1)^k*k*2^(-k); % wegen Feldnummerierung n-1 statt n
| | 5: | end;
| | 6: | disp(' ');
| | 7: | n-1
| | 8: | c(n)
| | 9: | pause;
| | 10: | end
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Wenn Du den Code laufen läßt, siehst Du erst den Index, danach den
zugehörigen "c-Wert". Mit Enter geht es weiter!
> stimmt das oder was hab ich diesmal übersehen/falsch
> gemacht?
Das sieht gut aus!
(Weiterer Kontrollcode:
| 1: | for k=1:5
| | 2: | A(k)=(k-1)^(-(k-1));
| | 3: | B(k)=(-1)^(k-1)*(k-1)*2^(-(k-1));
| | 4: | end;
| | 5: | Ergebnis = conv(A,B).';
| | 6: | Ergebnis = Ergebnis(1:5)
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Hier kommen als Ergebnis die [mm] $c_k$ [/mm] von oben nach unten (k wachsend) raus:
0.00000
-0.50000
0.00000
0.00000
-0.01852
Die letzte Zahl ist gerundet...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Sa 13.06.2015 | | Autor: | Martin_Ph |
Vielen Dank für die Erklärungen
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