Konvergenz/Diverg. von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 28.01.2013 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihen [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n},\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}:
[/mm]
[mm] a_{n}=(-1)^{n}((1+\bruch{1}{n})^{n+1}-(1+\bruch{1}{n})^{n})
[/mm]
[mm] b_{n}=(-1)^{2n}((1+\bruch{1}{2n})^{2n+1}-(1+\bruch{1}{2n})^{2n}) [/mm] |
Hallo, ich sitze schon seit drei Tagen an diesen zwei blöden verschachtelten Reihen und bin völlig verzweifelt..
bei [mm] a_{n} [/mm] dachte ich, ich kann mit Leibniz rangehen und habe auch alternierend (klar) und Nullfolge bewiesen. Aber mit der fallenden Monotonie komm ich auf überhaupt keinen Nenner mit den vielen Klammern :(
Und bei [mm] b_{n} [/mm] fällt mir nicht viel mehr ein als die Summe auseinander zu ziehen und zwei Reihen draus zu machen, wobei ich hier auch auf kein Ergebnis komme..oder [mm] (1+\bruch{1}{2n})^{2n} [/mm] ausklammern, dann 2n mit n* zu substituieren und dann das Wurzelkriterium anwenden, wobei ich hier dann auch nur auf 1 komme, wo man ja dann keine Aussage treffen kann. Wäre super könnte mir jemand weiterhelfen :)
Liebe Grüße Tmili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:31 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Helbig |
> Beweisen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der Reihen
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_{n},\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}:[/mm]
>
> [mm]a_{n}=(-1)^{n}((1+\bruch{1}{n})^{n+1}-(1+\bruch{1}{n})^{n})[/mm]
>
> [mm]b_{n}=(-1)^{2n}((1+\bruch{1}{2n})^{2n+1}-(1+\bruch{1}{2n})^{2n})[/mm]
> Hallo, ich sitze schon seit drei Tagen an diesen zwei
> blöden verschachtelten Reihen und bin völlig
> verzweifelt..
> bei [mm]a_{n}[/mm] dachte ich, ich kann mit Leibniz rangehen und
> habe auch alternierend (klar) und Nullfolge bewiesen. Aber
> mit der fallenden Monotonie komm ich auf überhaupt keinen
> Nenner mit den vielen Klammern :(
> Und bei [mm]b_{n}[/mm] fällt mir nicht viel mehr ein als die Summe
> auseinander zu ziehen und zwei Reihen draus zu machen,
> wobei ich hier auch auf kein Ergebnis komme..oder
> [mm](1+\bruch{1}{2n})^{2n}[/mm] ausklammern, dann 2n mit n* zu
> substituieren und dann das Wurzelkriterium anwenden, wobei
> ich hier dann auch nur auf 1 komme, wo man ja dann keine
> Aussage treffen kann. Wäre super könnte mir jemand
> weiterhelfen :)
Hallo Tmili,
zu a) Beachte:
Die Folge [mm] $n\mapsto \left(1 + \frac 1 n\right)^{n+1}$ [/mm] fällt und die Folge [mm] $n\mapsto \left(1 + \frac 1 n\right)^n$ [/mm] steigt monoton.
zu b) Es ist [mm] $b_n [/mm] = [mm] \left(1 + \frac 1 {2n}\right)^{2n}\frac [/mm] 1 {2n}$ und mit Bernoulli ergibt sich die harmonische Reihe als Minorante.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 28.01.2013 | | Autor: | tmili |
vielen dank für die schnelle antwort :)
oh stimmt so ist [mm] a_{n} [/mm] dann nach leibniz konvergent..wenn man das dann sieht ist alles klar :/
bei [mm] b_{n} [/mm] ist mir gerade nicht klar wie du umgeformt hast..wäre super wenn du das auführen könntest!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> vielen dank für die schnelle antwort :)
> oh stimmt so ist [mm]a_{n}[/mm] dann nach leibniz konvergent..wenn
> man das dann sieht ist alles klar :/
> bei [mm]b_{n}[/mm] ist mir gerade nicht klar wie du umgeformt
> hast..wäre super wenn du das auführen könntest!
learning by SELBSTNACHRECHNEN:
Gegeben war doch
[mm] $$b_{n}=(-1)^{2n}\left(\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n+1}-\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n}\right)$$
[/mm]
Wolfgang sagt:
> zu b) Es ist [mm]b_n = \left(1 + \frac 1 {2n}\right)^{2n}\frac 1 {2n}[/mm]
Klar ist [mm] $(-1)^{2n}={((-1)^2)}^n=1^n=1\,.$ [/mm] Du hast also nur zu zeigen,
dass
[mm] $$\left(\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n+1}-\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n}\right)= \left(1 + \frac 1 {2n}\right)^{2n}\frac [/mm] 1 {2n}$$
gilt.
Wie zeigt man eine (nicht offensichtliche) Gleichheit (oder sagen wir: wenn
man nicht schnell sieht, warum diese Gleichheit gilt...), wenn man sie nicht
auf anderem Wege erstmal einzusehen weiß?
(Anderer Weg: Bei
[mm] $$\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n+1}-\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n}$$
[/mm]
kann man doch offensichtlich [mm] $\left(1+\bruch{1}{2n}\right)^{2n}$ [/mm] vorklammern...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 28.01.2013 | | Autor: | tmili |
ach gott natürlich..sowas hatte ich sogar irgendwo auf meinem blatt stehen..ich hab manchmal das gefühl bei mathe wird man "betriebsblind"...sorry und vielen dank fürs ausführen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:08 Mo 28.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ach gott natürlich..sowas hatte ich sogar irgendwo auf
> meinem blatt stehen..ich hab manchmal das gefühl bei mathe
> wird man "betriebsblind"...sorry und vielen dank fürs
> ausführen!!
ne, man vergisst nur oft, dass die "einfachen Methoden, die man sogar aus
der Schule noch kennt", auch hier noch tauglich sind/sein können. Ich kenne
das, so nach dem Motto: "Da muss doch ein komplizierter Trick
dahinterstecken..." 
Gruß,
Marcel
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