Konvergenz Divergenz Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Fr 19.11.2010 | | Autor: | sanane |
Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] , wobei [mm]a_n:= \begin{cases} (2/5)^n , \text{ wenn n gerade} , \\
(3/5)^n, \text{ wenn n ungerade} \end{cases}[/mm]
Meine Lösung:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (2/5)^n [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty-1} (2/5)^n+1=
[/mm]
[mm] (2/5)^1 \summe_{n=0}^{\infty} (2/5)^n [/mm] = [mm] (2/5)^1* [/mm] 1/1-2/5 = 2/3 -> konvergent ...
analog hab ich das auch für [mm] (3/5)^n [/mm] gemacht.. ich weiss nur nicht ob ich das so aufteilen darf... wäre das so richtig?
|
|
| |
|
Huhu,
du hast anscheinend nicht verstanden, wie die Reihe aussieht.
Da sind nicht 2 Reihen mit gemeint, sondern eine!
Und die hat die Form:
$ [mm] \left(\bruch{3}{5}\right)^1 [/mm] + [mm] \left(\bruch{2}{5}\right)^2 [/mm] + [mm] \left(\bruch{3}{5}\right)^3 [/mm] + [mm] \left(\bruch{2}{5}\right)^4 [/mm] + [mm] \left(\bruch{3}{5}\right)^5 [/mm] + [mm] \ldots$
[/mm]
Die Reihe die du hingeschrieben hast, hat offensichtlich nicht diese Form!
Sollst du nur sagen, ob gegebene Reihe konvergiert oder divergiert? Dann ist es einfach, du kannst nämlich recht schnell eine konvergente Majorante angeben!
Um den GW zu berechnen, bedarf es ein paar mehr Überlegungen, die aber auch nicht schwer sind!
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Fr 19.11.2010 | | Autor: | sanane |
ahso :S .. dann habe ich die reihe wirklich nicht richtig verstanden :S ... hmmm ... du hattest vom majorantenkriterium gesprochen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] an , so dass für alle n [mm] \in [/mm] N gilt an>0
lim sup (n-> [mm] \infty) [/mm] |bn|/an < [mm] \infty [/mm] --> konvergent ...
aber wie zeige ich das denn jetzt ? :S kannst du mir da den ansatz aufschreiben.. ich versuche den GW (falls es einen gibt) dann selber zu bestimmen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Fr 19.11.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ahso :S .. dann habe ich die reihe wirklich nicht richtig
> verstanden :S ... hmmm ... du hattest vom
> majorantenkriterium gesprochen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] an , so dass für alle n [mm]\in[/mm] N gilt
> an>0
>
> lim sup (n-> [mm]\infty)[/mm] |bn|/an < [mm]\infty[/mm] -->
> konvergent ...
>
> aber wie zeige ich das denn jetzt ? :S kannst du mir da den
> ansatz aufschreiben.. ich versuche den GW (falls es einen
> gibt) dann selber zu bestimmen
Tipp: [mm] \bruch{3}{5} > \bruch{2}{5} [/mm], womit du eine wohlbekannte konvergente Reihe als Majorante erhälst.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 19.11.2010 | | Autor: | sanane |
hmm .. tut mir leid ich versteh dich nicht so ganz :S :( ..
was genau soll ich jetzt machen ? tut mir leid für die frage ..
bzw was sollte mir dein tipp eigentlich sagen ? und wie bringe ich es mit dem majorantenkriterium in verbindung?
|
|
|
| |
|
Huhu,
das denken können wir dir leider nicht abnehmen!
Schau dir die Reihe nochmal an.
Nun weisst du: [mm] $\bruch{2}{5} [/mm] < [mm] \bruch{3}{5}$
[/mm]
Nun kannst du also jeden Summanden der Form [mm] $\left(\bruch{2}{5}\right)^n$ [/mm] durch welchen Bruch abschätzen?
Welche wohlbekannte Reihe erhälst du dann?
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 21.11.2010 | | Autor: | sanane |
ich habe jetzt folgendes gerechnet:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (3/5)^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty-1} (3/5)^n+1
[/mm]
[mm] (3/5)^1 \summe_{n=0}^{\infty} (3/5)^n
[/mm]
(3/5)*(1/1-3/5)= 1,5 > 1 somit wäre die reihe doch unbestimmt divergent oder... ich bin am verzweifeln...:(
|
|
|
| |
|
Hallo sanane,
ich verstehe überhaupt nicht, was Du da rechnest. Gar nicht.
Warum verfolgst Du den Tipp von Gonozal nicht weiter? Ich nehme an, Du kennst das Majorantenkriterium? Das wirst Du dann anwenden müssen.
Gonos Tipp mit Holzhammerverstärkung lautet: ersetze mal alle Potenzen von [mm] \tfrac{2}{5} [/mm] durch solche mit [mm] \tfrac{3}{5}. [/mm] Dann bekommst Du eine schöne einfache Reihe, über die Du schnell alles Nötige weißt. Und die vergleichst Du mal mit der, die Du eigentlich untersuchen sollst.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 21.11.2010 | | Autor: | sanane |
ich weiss gerade echt nicht wie ich das aufschreiben soll :( .. kannst du mir die reihe nicht aufschreiben.. danach versuche ich dann weiterzurechenn:(
|
|
|
| |
|
Mensch:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left(\bruch{3}{5}\right)^n [/mm] ist gemeint.
Wenn sie konvergent ist und größer als Deine zu untersuchende Reihe, dann auch Deine Reihe konvergent.
Denn mal los,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 21.11.2010 | | Autor: | sanane |
irgendwie kommt es mir so vor als ob wir aneinander vorbei reden.. gerade diese reihe habe ich doch vorher schon untersucht :S:S .. und ich kam auf 1,5 > 1 .. :S
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 21.11.2010 | | Autor: | sanane |
kann mir bitte jemand helfen ?:(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst bitte mal aufschreiben, wann eine Folge konvergent ist, und wann eine Reihe konvergent ist.
Ich glaube da hakt es bei dir.
aber guck lieber noch mal in dein skript oder buch, was du über divergent geschrieben hast ist nämlich falsch:
gruss leduart
|
|
|
|
