Konvergenz/Divergenz v. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe
Ich habe folgendes Problem:
Ich soll folgende Reihen auf ihre Konvergenz bzw. Divergenz mit Hilfe des Majoranten/Minorantenkriteriums untersuchen.
1) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^2}{3^n} [/mm] $
2) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n!)²}{(2\cdot{}n)!} [/mm] $
3) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{(1+1/n)^n} [/mm] $ |
Hallo,
Mein Lösungsansatz wäre, soweit ich auch noch mitgekommen bin ^^:
1) Da [mm] n^2<=2^n [/mm] für alle n ungl. 3 könnte man umformen zu: [mm] 2^n/3^n [/mm] ...
jetzt habe ich da geometrische reihe reihe stehen und weiß dass diese größer ist, für das majorantenkriterium muss ich also nur noch zeigen dass sie konvergent ist.
2) Wenn ich hier mal ein paar ns ausschreibe, sehe ich dass der zähler größer als der nenner wird... zumindest bei n=4, ich schätze mal dass das ding dann gegen unendlich geht, weiß jedoch nicht wie ich da wo mit dem majoranten- oder minorantenkriterium anfangen soll...
3) hier fällt mir leider nichts zu ein...
Dazu habe ich noch ein paar Verständnisfragen, habe mal versucht mir das Majoranten/Minorantenkrit. über google etc. beizubringen ^^:
wenn da eine reihe ist 0<ak<bk und bk ist konvergent, dann heißt das dass auch ak konvergent ist? das ist alles? kein sonstiges kriterium?
das minorantenk.: wenn 0<ak<bk und bk ist divergent dann ist auch ak divergent?
Und eine geometrische reihe ist eine reihe die einfach die form [mm] aq^k [/mm] hat?
d.h. einfach eine reihe die noch einen faktor a davor hat?
Und eine harmonische reihe hat die form 1/k richtig?
Verstehe irgendwie noch nicht genau den unterschied da, ab wann eine folge harmonisch oder geometrisch, wäre z.b. ax1/k harmonisch oder geometrisch oder habe ich das oben eh falsch aufgeschrieben ?
Ich weiß, ich bin ein absoluter mathespezialist, bitte habt nachsicht^^
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 So 13.12.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo franky,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Ist denn für diese Reihe das notwendige Kriterium für Konvergenz erfüllt?
In Klartext: ist [mm] $\bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n}$ [/mm] eine Nullfolge?
Wenn nicht, folgt daraus unmittelbar die Divergenz der Reihe.
Gruß
Loddar
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$ [mm] \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] $
wie gesagt, ich weiß nicht genau wann eine harmonische reihe immer eine solche ist, aber ich nehme mal an dass 1/n eine ist, d.h. sie divergiert, und da diese zu 1 addiert und das ganze dann nochmal mit n potenziert wird, müsste ja auch der komplette nenner divergieren... wäre es eine folge wäre es wohl eine nullfolge da das ganze im nenner steht und der zähler ne konstante ist, aber bei der reihe bin ich mir nicht sicher... würde schätzen dass das komplette ding dann aber trotzdem divergiert da es sich ja trotzdem immer weiter aufsummiert..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Mo 14.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kennst du die Definition der Eulerschen Zahl e nicht?
es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n=e
[/mm]
was du über harmonische Reihe und [mm] (1+1/n)^n [/mm] sagst ist falsch.
Du redest immer von Folgen, wie 1/n meinst aber Reihen wie
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
Das ist die harmonische Reihe. Sie divergiert.Wenn also jeder Summand einer anderen Reihe ab irgend einem festen n größer ist als bei dieser Reihe muss sie divergieren.
Natürlich divergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a}{n}=a*\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}.
[/mm]
Eine geometrische Reihe ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}q^n [/mm] sie konvergiert , wenn q<1. auch hier kann man mit ner beliebigen festen Zahl multipl. Und wieder, wenn eine andere Reihe ab einem festen n lauter kleinere Summanden hat als eine geometrische, muss sie auch konvergieren.
bei der zweiten Aufgabe schreib dir mal Zähler und nenner mit Pünktchen aus, und dann kürze soweit du kannst und sie nach, was stehen bleibt. verwechsle nicht (2n)! mit 2*(n!)
Gruss leduart
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"Wenn also jeder Summand einer anderen Reihe ab irgend einem festen n größer ist als bei dieser Reihe muss sie divergieren. "
Verstehe ich nicht :(
Kann ich jetzt irgendeine Reihe nehmen, z.b. die geometrische [mm] aq^k, [/mm] und wenn hiervon ab z.b. n=5 an jeder einzelne Summand also z.b. [mm] aq^6 [/mm] größer wäre als der summand der harmonischen reihe 1/n bei n=6 also 1/6, dann divergiert diese...? Das ist für mich Bahnhof ohne Abfahrt :(, sorry...
"Eine geometrische Reihe ist $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}q^n [/mm] $ sie konvergiert , wenn q<1."
Aber das ist doch so ähnlich wie bei der harmonischen Reihe, da ist 1/n doch auch kleiner als 1, wobei der nenner aber immer größer wird und sie konvergiert trotzdem nicht...
bei [mm] q^n [/mm] und q<1 läuft es doch auch so: [mm] 0,5^1 [/mm] + [mm] 0,5^2 [/mm] + [mm] 0,5^3 [/mm] + [mm] 0,5^4 [/mm] + [mm] 0,5^5
[/mm]
Klar das wird immer kleiner aber es addiert sich ja auch immer weiter wie eben auch bei der harmonischen Reihe 1/n
-> 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6...+1/10000 etc
Ich weiß, ich bin hoffnungslos :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 14.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> "Wenn also jeder Summand einer anderen Reihe ab irgend
> einem festen n größer ist als bei dieser Reihe muss sie
> divergieren. "
>
> Verstehe ich nicht :(
Leduart hat lediglich das Minorantenkriterium in Worten formuliert
Das heißt: Gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $b_n \ge [/mm] 1/n$ für n [mm] \ge [/mm] m, so ist die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] divergent.
>
> Kann ich jetzt irgendeine Reihe nehmen, z.b. die
> geometrische [mm]aq^k,[/mm] und wenn hiervon ab z.b. n=5 an jeder
> einzelne Summand also z.b. [mm]aq^6[/mm] größer wäre als der
> summand der harmonischen reihe 1/n bei n=6 also 1/6, dann
> divergiert diese...? Das ist für mich Bahnhof ohne Abfahrt
Siehe oben
> :(, sorry...
>
> "Eine geometrische Reihe ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^n[/mm] sie
> konvergiert , wenn q<1."
Das stimmt nicht ! Richtig: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}q^n[/mm] konvergiert [mm] \gdw [/mm] |q|<1
>
> Aber das ist doch so ähnlich wie bei der harmonischen
> Reihe, da ist 1/n doch auch kleiner als 1, wobei der nenner
> aber immer größer wird und sie konvergiert trotzdem
> nicht...
> bei [mm]q^n[/mm] und q<1 läuft es doch auch so: [mm]0,5^1[/mm] + [mm]0,5^2[/mm] +
> [mm]0,5^3[/mm] + [mm]0,5^4[/mm] + [mm]0,5^5[/mm]
>
> Klar das wird immer kleiner aber es addiert sich ja auch
> immer weiter wie eben auch bei der harmonischen Reihe 1/n
> -> 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6...+1/10000 etc
Für |q|<1 konvergiert die Folge [mm] (q^n) [/mm] viiiiiiiiiel schneller gegen 0 als die Folge (1/n)
FRED
>
> Ich weiß, ich bin hoffnungslos :(
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Danke schonmal.
Aber ist dann meine Anfangsauffassung von dem Minoranten.- und Majorantenkriterium gar nicht so verkehrt gewesen?:
"majorantenk.: wenn da eine reihe ist 0<ak<bk und bk ist konvergent, dann heißt das dass auch ak konvergent ist? das ist alles? kein sonstiges kriterium?
das minorantenk.: wenn 0<ak<bk und bk ist divergent dann ist auch ak divergent?"
lediglich beim minorantenk. habe ich geschrieben dass bk divergent sein muss damit ak divergiert, es ist aber umgekehrt, richtig?
D.h. wenn ich bk habe, und eine kleinere reihe ak finde welche divergiert, divergiert auch bk?
Zu der Aufgabe 3), hatte ganz die eulersche Zahl vergessen, die kann man dann dahinschreiben, nun weiß ich aber nicht genau was mir 1/e sagt :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 Mo 14.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das mit dem majoranten und minorantenkriterium hast du richtig. Es fehlt höchstens, dass das nicht für alle Summanden gelten muss sondern nur ab irgendeinem festen n bzw k. (auf die ersten paar Millionen Summanden kommts für die Konvergenz oder divergenz nie an, denn sie ergeben ja einfach ne feste Zahl.)
Die Summe einer geometrischen Reihe kannst du direkt hinschreiben. Dann sieht man, dass sie für |q|<1 konvergiert und zwar gegen [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Die harmonische Reihe hat zwar auch ne Nullfolge als Summanden, man kann aber immer geschickt zusammenassen und immer wieder die 1 erreichen, habt ihr das nicht in der Vorlesung gemacht? sonst guck dir das in wiki harmonische Reihe, Eigenschaften an.
Damit eine Reihe konvergiert ist das notwendige Kriterium, dass die Summanden eine Nullfolge bilden. Das ist bei der Reihe, wo die Summanden gegen 1/e konvergieren nicht erfüllt.
Gruss leduart
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Hm, ja das ist einleuchtend, aber ginge das dann nicht auch bei [mm] 1/n^2?
[/mm]
Es würden zwar viel mehr glieder benötigt (^2) um jedesmal wieder auf 1/2 zu kommen aber bei entsprechend großem n wäre es da nicht logisch dass man auch hiermit jeden beliebigen wert übersteigen könnte?
Da verstehe ich nämlich ganz ab wann man genau die grenze ziehen kann, ab wann man quasi sieht dass es nicht mehr divergent sondern konvergent wird...
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Hallo Franky,
so einfach ist das mit den Reihen nicht. Wenn man nur nach eigener Anschauung und Schätzung geht, liegt man ziemlich oft falsch.
> Hm, ja das ist einleuchtend, aber ginge das dann nicht auch
> bei [mm]1/n^2?[/mm]
> Es würden zwar viel mehr glieder benötigt (^2) um
> jedesmal wieder auf 1/2 zu kommen aber bei entsprechend
> großem n wäre es da nicht logisch dass man auch hiermit
> jeden beliebigen wert übersteigen könnte?
Nein, es werden noch viel mehr Glieder benötigt.
Es ist tatsächlich bereits [mm] \summe^\infty_{n=\red{2}} \bruch{1}{n^2}<\bruch{1}{2}
[/mm]
> Da verstehe ich nämlich ganz ab wann man genau die grenze
> ziehen kann, ab wann man quasi sieht dass es nicht mehr
> divergent sondern konvergent wird...
Bei Reihen der Form [mm] \summe^\infty_{n=1} \bruch{1}{n^\red{s}} [/mm] muss s>1 sein, damit sie konvergieren. Das "sieht" man nicht, aber man kann es nachweisen, wenn auch nicht ganz ohne Mühe.
lg
reverend
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Hallo Franky,
da gibt es einen kleinen, aber entscheidenden Fehler in Deiner Formulierung der beiden Kriterien:
> "majorantenk.: wenn da eine reihe ist 0<ak<bk und bk ist
> konvergent, dann heißt das dass auch ak konvergent ist?
> das ist alles? kein sonstiges kriterium?
Die Idee ist richtig, nur die Ausführung noch mit ein paar Falltürchen versehen.
Ich setze mal beide Reihen als nicht-alternierend voraus (die aufsummierten Folgen wechseln also nicht von Glied zu Glied das Vorzeichen).
Dann folgt aus [mm] 0<|a_k|<|b_k| [/mm] und [mm] b_k [/mm] konvergent, dass auch [mm] a_k [/mm] konvergent ist.
Ist eine der beiden Reihen oder beide alternierend, muss man etwas genauer hinschauen. Das lasse ich aber gerade mal.
> das minorantenk.: wenn 0<ak<bk und bk ist divergent dann
> ist auch ak divergent?"
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]")
Hier stimmt der Grundgedanke nicht, oder jedenfalls die Reihenfolge! (siehe unten)
Wieder beide als nicht-alternierend vorausgesetzt:
Wenn für alle k gilt: [mm] 0<|a_k|<|b_k| [/mm] und [mm] \red{a_k} [/mm] divergent ist, dann ist auch [mm] \red{b_k} [/mm] divergent.
Überleg Dir mal den Unterschied zu Deiner Formulierung!
Platt gesagt: wenn schon eine Reihe divergiert, die durchweg kleiner ist, dann divergiert auch die größere.
> lediglich beim minorantenk. habe ich geschrieben dass bk
> divergent sein muss damit ak divergiert, es ist aber
> umgekehrt, richtig?
> D.h. wenn ich bk habe, und eine kleinere reihe ak finde
> welche divergiert, divergiert auch bk?
Ja, so ist es (siehe oben). Gut überlegt.
> Zu der Aufgabe 3), hatte ganz die eulersche Zahl vergessen,
> die kann man dann dahinschreiben, nun weiß ich aber nicht
> genau was mir 1/e sagt :(
Dass die Folge gegen [mm] \bruch{1}{e}\not=0 [/mm] konvergiert, sagt Dir vor allem, dass sie keine Nullfolge ist. Dann kann aber die Reihe nicht konvergent sein (sog. Trivialkriterium).
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mi 16.12.2009 | | Autor: | franky2207 |
Vielen Dank an euch für die Mühe!
Habe es soweit, denke ich :), ganz gut verstanden inzwischen...
Falls nicht, kreuze ich hier sofort wieder auf :D
Schönen abend noch!
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