Konvergenz/Divergenz v. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Di 22.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe 1 | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^k \bruch{k}{2^k} [/mm] |
| Aufgabe 2 | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{2k + 1} [/mm] |
Hey, hab hier 2 Reihen und bin mir beim Ergebnis noch nicht 100% sicher:
zu 1.) Wurzelkriterium: [mm] \bruch{\wurzel[n]{|(-1)^n|} \wurzel[n]{n}}{\wurzel[n]{2^n}} [/mm] konvergiert somit gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und ist < 1, stimmt das so?
zu 2.) Wurzelkriterium: [mm] \bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{2n+1}}... [/mm] gegen was konvergiert der Nenner? Wie form ich das am besten um?
mit dem Quotientenkriterium komme ich nur auf einen Wert > 1 und somit funktioniert das auch nicht richtig, wenn gewünscht, schreibe ich nochmal gerne meine Umformung. Divergiert die Folge somit?
Danke im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Di 22.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> zu 1.) Wurzelkriterium: $ [mm] \bruch{\wurzel[n]{|(-1)^n|} \wurzel[n]{n}}{\wurzel[n]{2^n}} [/mm] $ konvergiert somit gegen $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $ und ist < 1, stimmt das so?
Ja.
> zu 2.) Wurzelkriterium: $ [mm] \bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{2n+1}}... [/mm] $ gegen was konvergiert der Nenner? Wie form ich das am besten um?
Vergiß die Kriterien. Schau Dir die einzelnen Reihenglieder an, und stell fest, daß die Reihe
[mm] $\sum_k \frac [/mm] 1k$
sehr ähnlich ist.
[mm] $\sum_k\frac 1{2k+1}\geq \sum_k\frac1{2k+2}=\ldots$
[/mm]
ciao
Steafan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Di 22.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Vergiß die Kriterien. Schau Dir die einzelnen
> Reihenglieder an, und stell fest, daß die Reihe
> [mm]\sum_k \frac 1k[/mm]
>
> sehr ähnlich ist.
>
> [mm]\sum_k\frac 1{2k+1}\geq \sum_k\frac1{2k+2}=\ldots[/mm]
Danke für den Ansatz Stefan, nur leider weiß ich nicht ganz, wie ich das ganze umforme. Anscheinend ist das ja der harmonischen Reihe ähnlich und divergiert somit, wenn ich dich richtig verstanden habe, nur leider weiß ich noch nicht ganz, wie ich mit deiner Abschätzung auf die harmonische Reihe komme..
|
|
|
| |
|
Hallo Anazeug,
>
> > Vergiß die Kriterien. Schau Dir die einzelnen
> > Reihenglieder an, und stell fest, daß die Reihe
> > [mm]\sum_k \frac 1k[/mm]
> >
> > sehr ähnlich ist.
> >
> > [mm]\sum_k\frac 1{2k+1}\geq \sum_k\frac1{2k+2}=\ldots[/mm]
>
> Danke für den Ansatz Stefan, nur leider weiß ich nicht
> ganz, wie ich das ganze umforme. Anscheinend ist das ja der
> harmonischen Reihe ähnlich und divergiert somit, wenn ich
> dich richtig verstanden habe,
Hast du!
> nur leider weiß ich noch
> nicht ganz, wie ich mit deiner Abschätzung auf die
> harmonische Reihe komme..
Vllt. so:
Es ist [mm]2k+1\le 2k+k=3k[/mm]
Also [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{3k}[/mm]
Damit [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{2k+1}\ge\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k}[/mm]
Nun hast du eine wunderbare altbekannte divergente Minorante zu deiner Ausgangsreihe.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Di 22.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Okay, alles klar, vielen Dank :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Es ist [mm]2k+1\le 2k+k=3k[/mm]
>
> Also [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{3k}[/mm]
>
> Damit [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{2k+1}\ge\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k}[/mm]
>
> Nun hast du eine wunderbare altbekannte divergente
> Minorante zu deiner Ausgangsreihe.
Hey,
kann ich die gleiche Argumentation für folgende Reihe nutzen: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-1)^k}{2k+1}
[/mm]
Also wäre die Reihe somit auch divergent, oder konvergiert die Reihe, wenn ja, dann aber nicht absolut, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anazeug!
Aufgrund des Faktors [mm] $(-1)^k$ [/mm] klappt das nicht so.
Aber für die Konvergenz solltest Du vielleicht mal an den Herrn Leibniz denken.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Ah,
Das Leibnizkriterium besagt : [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n, [/mm] wobei [mm] (a_n) [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
also ist es nichts anderes als [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^k \bruch{1}{2k+1} [/mm]
und somit konvergiert die Reihe, da [mm] \bruch{1}{2k+1} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist?
|
|
|
| |
|
Hallo Anazeug,
> Ah,
>
> Das Leibnizkriterium besagt : [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n,[/mm]
> wobei [mm](a_n)[/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist.
>
> also ist es nichts anderes als [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^k \bruch{1}{2k+1}[/mm]
> und somit konvergiert die Reihe, da [mm]\bruch{1}{2k+1}[/mm] eine
> monoton fallende Nullfolge ist?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Alles klar, was täte ich nur ohne euch, DANKE!, hab gleich noch ein Problem ...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo Anazeug,
>
>
> >
> > > Vergiß die Kriterien. Schau Dir die einzelnen
> > > Reihenglieder an, und stell fest, daß die Reihe
> > > [mm]\sum_k \frac 1k[/mm]
> > >
> > > sehr ähnlich ist.
> > >
> > > [mm]\sum_k\frac 1{2k+1}\geq \sum_k\frac1{2k+2}=\ldots[/mm]
> >
> > Danke für den Ansatz Stefan, nur leider weiß ich nicht
> > ganz, wie ich das ganze umforme. Anscheinend ist das ja der
> > harmonischen Reihe ähnlich und divergiert somit, wenn ich
> > dich richtig verstanden habe,
>
> Hast du!
>
> > nur leider weiß ich noch
> > nicht ganz, wie ich mit deiner Abschätzung auf die
> > harmonische Reihe komme..
>
> Vllt. so:
>
> Es ist [mm]2k+1\le 2k+k=3k[/mm]
>
> Also [mm]\frac{1}{2k+1}\ge\frac{1}{3k}[/mm]
>
> Damit [mm]\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{2k+1}\ge\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 1}\frac{1}{k}[/mm]
>
> Nun hast du eine wunderbare altbekannte divergente
> Minorante zu deiner Ausgangsreihe.
warum nicht direkt so:
[mm] $$\sum_{k \ge 1} \frac{1}{2k+2}=\frac{1}{2}\sum_{k \ge 1}\frac{1}{k+1}=\frac{1}{2}\sum_{k \ge 2}\frac{1}{k}$$
[/mm]
?
@ Schachuzipus:
Ist keine wirkliche Kritik an Deiner Antwort, nicht falsch verstehen: Es geht mir nicht drum, dass das besser als Deine Methode mit einer weiteren Abschätzung sei - sondern darum, dass man "Indexshifts" erkennt. Kann manchmal sehr hilfreich sein 
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
