Konvergenz/Divergenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Sei [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n}^{2} [/mm] eine konvergente Reihe. Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{n} [/mm] konvergiert. |
| Aufgabe 2 | Sei [mm] a_{n} [/mm] eine reelle Folge mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}na_{n} [/mm] = a > 0.
Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] divergiert. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
mein Lösungsansatz zur 1. Aufgabe ist, dass ich eine konvergente Majorante zu [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{a_{n}}{n} [/mm] finde.
Da [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n}^{2} [/mm] konvergiert ist [mm] a_{n}^{2} [/mm] eine Nullfolge. Also kann ich ein N [mm] \in \IN [/mm] wählen, sodass [mm] |a_{n}|^{2} [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N. Dies wäre dann äquivalent zu [mm] \bruch{|a_{n}|^{2}}{n^{2}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n^{2}} \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N. Aber wenn ich nun die Wurzel ziehe, dann erhalte ich [mm] \bruch{|a_{n}|}{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und das bringt mich nicht weiter, da die harmonische Reihe divergent ist und somit keine konvergente Majorante sein kann. :(
Bei der 2. Aufgabe fehlt es mir leider massiv an Ideen. Eine Möglichkeit wäre, dass man nachweist, dass [mm] a_{n} [/mm] keine Nullfolge ist, da dann direkt die Divergenz der Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_{n} [/mm] folgt. Aber richtig konkrete Ideen hab ich hierfür leider noch nicht.
Ich hoffe, ihr könnt mir bei diesen zwei Aufgaben weiterhelfen.
Mit freundlichen Grüßen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
zu 1.
[mm] $\sum_{i=1}^m \frac [/mm] 1n$
ist gerade an der Grenze zur Konvergenz. Wenn z.B. statt $n$ dort [mm] $n^\rho$ [/mm] mit 'nem [mm] $\rho>1$ [/mm] dort stünde, wäre das schon ausreichend.
Du sollst jetzt zeigen, daß [mm] $a_n$ [/mm] hier dem [mm] $\frac [/mm] 1n$ nachhelfen kann.
zu 2.
Wäre [mm] $a_n$ [/mm] keine Nullfolge, dann würde
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}na_{n} [/mm] =a>0 $
nicht konvergieren. Aber weil sie nicht gegen 0 sondern eine Zahl größer 0 konvergiert, kannst Du zeigen, daß [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $\frac [/mm] 1n$ sich asymptotisch ähnlich genug sind, daß auch [mm] $\sum a_n$ [/mm] nicht konvergieren kann.
ciao
Stefan
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Erstmal Danke für die schnelle Antwort.
Deine Hinweise verstehe ich, doch an der Ausführung happert es.
Ich weiß nämlich nicht, wie ich bei der 1. Aufgabe zeigen soll, dass [mm] a_{n} [/mm] hier den Beitrag leistet zur Konvergenz leistet. Bei der 2. Aufgabe bin ich mir nicht bewusst, wie man formell korrekt nachweist, dass sich etwas im unendlichen ähnlich genug ist.
Wäre nett, wenn du deine Hinweise noch etwas präzisieren könntest.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mi 13.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mi 13.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
es ist immer die Frage, was Du kennst und verwenden darfst.
Bei 1) würde ich spontan das Gauß-Kriterium verwenden, aber ich weiß nicht, ob es nicht auch einfacher geht.
Bei 2) weißt Du aus der Konvergenz, daß
[mm] $\sum_{i=N(\varepsilon)}^\infty \frac{a-\varepsilon}{n}$
[/mm]
eine Minorante für die entsprechende Teilfolge ist.
ciao
Stefan
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