Konvergenz Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 So 03.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe aus eine rProbeklausur, wozu es leider keine Lösungen gibt.
Untersuchen Sie die Folge [mm] (b_{n})_{n} [/mm] mit [mm] b_{n}= \bruch{1}{3^{n}-n} [/mm] auf Konvergenz und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Ich hab verschiedene Sachen ausprobiert, aber leider hat nix zum Ziel geführt. Meine aktuelle Idee ist, eine Partialbruchzerlegung zu machen. Aber: Ich krieg das nich mehr hin... heul...
Vielen Dank und Viele Grüße
Kerstin
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Hallo Kerstin,
> Hallo,
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> ich habe hier eine Aufgabe aus eine rProbeklausur, wozu es
> leider keine Lösungen gibt.
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> Untersuchen Sie die Folge [mm](b_{n})_{n}[/mm] mit [mm]b_{n}= \bruch{1}{3^{n}-n}[/mm]
> auf Konvergenz und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Na, das ist doch relativ offensichtlich eine Nullfolge!
Das [mm]3^n[/mm] wächst doch exponentiell, du ziehst ein nur linear wachsendes n ab ....
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> Ich hab verschiedene Sachen ausprobiert, aber leider hat
> nix zum Ziel geführt. Meine aktuelle Idee ist, eine
> Partialbruchzerlegung zu machen. Aber: Ich krieg das nich
> mehr hin... heul...
Eine PBZ kann auch nicht klappen ...
Du kannst hier sehr elementar über die [mm]\varepsilon[/mm]-Definition gehen.
Gib dir ein bel. [mm]\varepsilon>0[/mm] vor und schätze den Betrag [mm]\left|\frac{1}{3^n-n}-0\right|=\frac{1}{3^n-n}[/mm] naheliegend ab, um das gesuchte [mm]N(\varepsilon)[/mm] aus der Grenzwertdefinition zu konstruieren ...
>
> Vielen Dank und Viele Grüße
> Kerstin
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 03.04.2011 | | Autor: | Kueken |
Danke dir für deine Antwort!
Nuja, dass sie konvergiert, hab ich mir ja auch schon gedacht :D aber ich glaub das reibt als Antwort nicht wirklich aus :D
ok, also das mit dem e-Kriterium hab ich zwar auch gemacht, war aber nicht ganz glücklich mit dem Ergebnis, weil der Logarithmus auftaucht und den dürfen wir ja nicht benutzen (kam nicht in der Vorlesung vor). Also ich denke wir dürfen ihn nicht benutzen... Da liegt das Problem.
Viele Grüße
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 So 03.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kerstin!
> Danke dir für deine Antwort!
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> Nuja, dass sie konvergiert, hab ich mir ja auch schon
> gedacht :D aber ich glaub das reibt als Antwort nicht
> wirklich aus :D
> ok, also das mit dem e-Kriterium hab ich zwar auch
> gemacht, war aber nicht ganz glücklich mit dem Ergebnis,
> weil der Logarithmus auftaucht und den dürfen wir ja nicht
> benutzen (kam nicht in der Vorlesung vor). Also ich denke
> wir dürfen ihn nicht benutzen... Da liegt das Problem.
Den Logarithmus brauchst du nicht unbedingt. Z.B. kannst du die gesuchte Folge durch eine andere Nullfolge abschätzen. Wenn ich mir die ersten paar Folgenglieder anschaue:
[mm]b_1=\bruch{1}{2} [/mm]
[mm]b_2=\bruch{1}{7} [/mm]
[mm]b_3=\bruch{1}{24} [/mm]
[mm]b_4=\bruch{1}{77} [/mm]
dann drängt sich mir die Vermutung
[mm] 0 < b_n \le \bruch{1}{n} [/mm]
auf. (Das ist äquivalent zu: [mm] $3^n \ge [/mm] 2n$, was gerade die Bernoulli-Ungleichung für $x=2$ ist.)
Da [mm] $\bruch{1}{n} [/mm] $ eine Nullfolge ist, muss auch [mm] $b_n$ [/mm] eine sein.
Formal kannst du z.B. sagen, dass [mm] $|b_n|< \varepsilon$ [/mm] sicher dann gilt, wenn [mm] $n>\bruch{1}{\varepsilon}$ [/mm] ist, und du hast die Konvergenz gegen 0 mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] nachgewiesen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 So 03.04.2011 | | Autor: | Kueken |
ah ok, bernoulli mal wieder *g* den hab ich verdrängt ..
Danke dir für deine Antwort!
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