Konvergenz Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Fr 26.08.2011 | | Autor: | frato |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine reelle Folge, die gegen a konvergiert. Zeigen sie, dass dann auch die Folge der [mm] b_{n}=\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] gegen a konvergiert. |
Heyho,
wieder mal eine Frage: Wir haben gerade diese Examensaufgabe vor uns liegen und kommen nicht wirklich auf einen grünen Zweig. Kann uns jemand einen Tipp oder Anstoß geben, wie man auf die Lösung kommen könnte?
Unsere erste Idee war:
sei [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge und konvergiert somit gegen a=0.
Die Folge [mm] b_{n}=\bruch{1}{n}\summe_{k=1}^{n}a_{k} [/mm] konvergiert für [mm] n->\infty [/mm] auch gegen 0, weshalb beide gegen a=0 konvergieren...
Allerdings hätten wir hier so ja nur einen Fall abgedeckt (und der ist wahrscheinlich nicht mal richtig :) )...
Also bitte: Hilfe!!!
Danke schon einmal!
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Hi,
ich würde so vorgehen:
Schau dir mal die Folge definiert durch [mm] $c_n=a_n-a$ [/mm] an. [mm] $c_n$ [/mm] ist eine Nullfolge, klar.
Dann gilt: [mm] $b_n=\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^na_k=\bruch{1}{n}\summe_{k=0}^n(c_k+a)=\dots$
[/mm]
Wie gehts weiter? Du kannst hier deine Überlegungen von oben benutzen, allerdings würde ich die etwas ausführlicher begründen.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Sa 27.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Das ist der Cauchysche Grenzwertsatz:
http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Grenzwertsatz
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 27.08.2011 | | Autor: | frato |
Danke schon mal für die Antworten. Das hat schon mal etwas weitergeholfen. Allerdings ist uns der Beweis bei Wikipedia noch nicht wirklich klar. Wie kommt man von ak-a auf ak-na (sorry für diese Schreibweise, aber mitm Handy ist grad leider nicht mehr möglich)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Sa 27.08.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm]\summe_{i=1}^{n} a=n*a[/mm]
es steht nirgends [mm] a_k-a=a_k-n*a!
[/mm]
Gruss leduart
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