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Forum "Uni-Analysis" - Konvergenz Fresnel-Integral
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Konvergenz Fresnel-Integral: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Di 08.02.2005
Autor: sieggie

Hallo ich soll zeigen, dass das folgende Integral konvergiert:

[mm] \integral_{0}^{ \infty} [/mm] {sin [mm] t^{2} [/mm] dt}

ich habe mir überlegt, dass man das über die summe :

[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin [mm] t^{2} [/mm]

erklären kann und dass  [mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin [mm] t^{2} [/mm] =  
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin x für x = [mm] t^{2} [/mm]

nun meine frage: wie kann ich beweisen, dass
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} [/mm] sin x = 0 ist.

vielen dank im vorraus für eine hoffentlich schnelle hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz Fresnel-Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Di 08.02.2005
Autor: andreas

hallo

> ch soll zeigen, dass das folgende Integral
> konvergiert:
>
> [mm]\integral_{0}^{ \infty} {sin t^{2} dt} [/mm]

sagt dir das dirichlet-kriterium etwas? damit sollte es funktionieren. substituiere zuerst [m] u = t^2 [/m] so erhälst du

[m] \frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{\sin u}{\sqrt{u}} \, \mathrm{d}u [/m]

mache dir zuerst klar, dass das intervall [m] [0,1] [/m] keine probleme macht, da die funktion in $0$ stetig ergänzbar ist und zeige nun, dass das integral [m] \int_1^x \sin u \, \mathrm{d}u [/m] beschränkt ist (das geht durch einfache integration) und dass die funktion [m] \frac{1}{\sqrt{u}} [/m] monoton gegen null fällt (für [m] u \to \infty [/m]) jetzt sind die vorrausstzungen für das dirichlet-kriterium erfüllt!


> ich habe mir überlegt, dass man das über die summe :
>  
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin [mm]t^{2} [/mm]
>  
> erklären kann

ich befürchte solche kriterien darf man nur bei monoton wachsenden oder fallenden funktionen anwenden, das ist hier aber ja nicht der fall...

> und dass  [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin [mm]t^{2}[/mm] =  
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin x für x = [mm]t^{2} [/mm]
>  
> nun meine frage: wie kann ich beweisen, dass
>
> [mm]\summe_{i=0}^{\infty}[/mm] sin x = 0 ist.

bist du bei dieser aussage sicher? ich kann das zwar nicht beweisen, bin mit aber recht sicher, dass der reihenwert nicht $0$ ist! (der wert des oben genannten integrals ist [m] \sqrt{\frac{\pi}{8}} [/m] - was man mit etwas funktionentheorie berechnen kann ...)


hoffe das hilft dir erstmal weiter, wenn nicht kannst du dich ja nochmal melden.


grüße
andreas

Bezug
                
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Konvergenz Fresnel-Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:10 Mi 09.02.2005
Autor: sieggie

Danke, hat mir schon ein wenig geholfen und mich von meinem falschen weg abgebracht.
mfg

Bezug
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