Konvergenz Funktionenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 Mo 26.11.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es sei [mm] $\alpha \in\mathbb{R}$. [/mm] Betrachten Sie für [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] die Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] der Funktionen [mm] $f_n\colon [/mm] [0, [mm] 1]\to\mathbb{R}$, [/mm] welche definiert sind als [mm] $f_n(x):=n^\alpha x^n(1-x)$. [/mm]
a) Für welche Werte von $x$ konvergiert [mm] $(f_n)$ [/mm] gleichmäßig gegen $0$? |
Hallo zusammen, ich komme bei dieser Teilaufgabe leider nicht weiter. Ich habe mittlerweile nach langer Herumprobiererei herausgefunden, dass [mm] $(f_n)$ [/mm] für alle [mm] $a\in\mathbb{R}$ [/mm] punktweise konvergiert, bekomme aber die gleichmäßige Konvergenz nicht hin.
Habt ihr da irgendwelche Tipps?
Ich habe bis jetzt:
[mm] $\sup_{0
Jetzt würde ich mir gerne das Verhalten für [mm] $n\to \infty$ [/mm] angucken. Laut ![[]](/images/popup.gif) WolframAlpha gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} \left\lvert n^\alpha \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)\right\rvert [/mm] = 0$ für [mm] $|\alpha| [/mm] < 1$, aber ich selbst komme da nicht weiter. Soll ich einen ganz anderen Ansatz nehmen, oder habt ihr hierzu Tipps für mich?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]\alpha \in\mathbb{R}[/mm]. Betrachten Sie für
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] die Folge [mm](f_n)[/mm] der Funktionen [mm]f_n\colon [0, 1]\to\mathbb{R}[/mm],
> welche definiert sind als [mm]f_n(x):=n^\alpha x^n(1-x)[/mm].
>
> a) Für welche Werte von [mm]x[/mm] konvergiert [mm](f_n)[/mm] gleichmäßig
> gegen [mm]0[/mm]?
>
> Hallo zusammen, ich komme bei dieser Teilaufgabe leider
> nicht weiter. Ich habe mittlerweile nach langer
> Herumprobiererei herausgefunden, dass [mm](f_n)[/mm] für alle
> [mm]a\in\mathbb{R}[/mm] punktweise konvergiert, bekomme aber die
> gleichmäßige Konvergenz nicht hin.
>
> Habt ihr da irgendwelche Tipps?
>
> Ich habe bis jetzt:
>
> [mm]\sup_{0
> (Maximum von [mm]x^n(1-x)[/mm] bestimmt, für [mm]x=0, x=1[/mm] ist die
> Konvergenz ja klar)
>
> Jetzt würde ich mir gerne das Verhalten für [mm]n\to \infty[/mm]
> angucken. Laut
> WolframAlpha
> gilt [mm]\lim_{n\to\infty} \left\lvert n^\alpha \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)\right\rvert = 0[/mm]
> für [mm]|\alpha| < 1[/mm], aber ich selbst komme da nicht weiter.
> Soll ich einen ganz anderen Ansatz nehmen, oder habt ihr
> hierzu Tipps für mich?
Es ist
[mm] \left\lvert n^\alpha \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)\right\rvert= \bruch{n^{\alpha}}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n
[/mm]
Hilft das ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Di 27.11.2012 | | Autor: | Lustique |
> Es ist
>
> [mm]\left\lvert n^\alpha \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)\right\rvert= \bruch{n^{\alpha}}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Hilft das ?
>
> FRED
>
Ja, danke FRED, das hilft tatsächlich! Ich hätte aber wohl auch mal selbst darauf kommen sollen, die Klammer auf den Hauptnenner zu bringen... :O
Kann ich dann wie folgt weiter argumentieren?
$\sup_{0<x<1} |f_n(x)|=\left\lvert n^\alpha \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)\right\rvert= \bruch{n^{\alpha}}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n$
da ja $\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^n\to 1$ für $n\to \infty$, muss ja gelten $\bruch{n^{\alpha}}{n+1}\to 0$ für $n\to \infty$, da ja $\sup_{0<x<1} |f_n(x)|\to 0$ für $n\to\infty$ gewünscht ist.
Also:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} n}\left(\frac{n^\alpha}{n+1}\right)=\cdots=\frac{n^{\alpha-1}\left(\alpha n+\alpha-n\right)}{\left(n+1\right)^2$
Es muss ja dann gelten $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} n}\left(\frac{n^\alpha}{n+1}\right)<0$, also:
$\alpha n + \alpha -n <0 \iff \alpha n +\alpha < n \iff \alpha (n+1) < n \iff \alpha < \frac{n}{n+1} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1$
Geht das so, oder ist die Argumentation zu "abenteuerlich" oder schlicht falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist
> >
> > [mm]\left\lvert n^\alpha \left(\frac{n}{n+1}\right)^n\left(1-\left(\frac{n}{n+1}\right)\right)\right\rvert= \bruch{n^{\alpha}}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n[/mm]
>
> >
> > Hilft das ?
> >
> > FRED
> >
>
> Ja, danke FRED, das hilft tatsächlich! Ich hätte aber
> wohl auch mal selbst darauf kommen sollen, die Klammer auf
> den Hauptnenner zu bringen... :O
>
> Kann ich dann wie folgt weiter argumentieren?
>
> [mm]\sup_{0
>
> da ja [mm]\left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^n\to 1[/mm] für [mm]n\to \infty[/mm],
Nein. Schon mal was von Euler und e gehört ?
> muss ja gelten [mm]\bruch{n^{\alpha}}{n+1}\to 0[/mm] für [mm]n\to \infty[/mm],
> da ja [mm]\sup_{0
> ist.
>
> Also:
>
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} n}\left(\frac{n^\alpha}{n+1}\right)=\cdots=\frac{n^{\alpha-1}\left(\alpha n+\alpha-n\right)}{\left(n+1\right)^2[/mm]
>
> Es muss ja dann gelten [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} n}\left(\frac{n^\alpha}{n+1}\right)<0[/mm],
> also:
>
> [mm]\alpha n + \alpha -n <0 \iff \alpha n +\alpha < n \iff \alpha (n+1) < n \iff \alpha < \frac{n}{n+1} \overset{n\to\infty}{\longrightarrow} 1[/mm]
>
> Geht das so, oder ist die Argumentation zu "abenteuerlich"
> oder schlicht falsch?
Beides und völlig unsinnig. [mm] \alpha [/mm] darf doch nicht von n abhängen.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Di 27.11.2012 | | Autor: | Lustique |
Hallo FRED!
> Nein. Schon mal was von Euler und e gehört ?
Ja, eigentlich schon. Es gilt natürlich $ [mm] \left(1-\bruch{1}{n+1}\right)^n\to 1/\mathrm{e} [/mm] $. Danke, dass du mich darauf hingewiesen hast.
> Beides und völlig unsinnig. [mm]\alpha[/mm] darf doch nicht von n
> abhängen.
Ok, alles klar, dann bin ich jetzt aber ehrlich gesagt überfragt wies weitergeht. :/ Ich bin wohl krankheitsbedingt im Moment nur begrenzt zurechnungsfähig... Tut mir leid, aber könntest du mir hier nochmal weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Di 27.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Was treibt die Folge [mm] (\bruch{n^{\alpha}}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n [/mm] ) für [mm] \alpha \ge [/mm] 1
....etc...
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Di 27.11.2012 | | Autor: | Lustique |
Hallo FRED,
> Was treibt die Folge
> [mm](\bruch{n^{\alpha}}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n[/mm] ) für [mm]\alpha \ge[/mm]
> 1
>
> ....etc...
>
>
> FRED
Also, für [mm] $\alpha [/mm] = 1$ folgt ja [mm] $\frac{n}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n= \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\to 1/\mathrm{e}\neq [/mm] 0$.
Für [mm] $\alpha [/mm] <1$: [mm] $\frac{n^{\alpha}}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{n^{\alpha-1}}{1+1/n}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n\to [/mm] 0$ als Produkt zweier konvergenter Folgen.
[mm] $\alpha>1$: [/mm] Hier bin ich jetzt aber peinlicherweise gerade tatsächlich zu doof. Ich finde keine Abschätzung, und [mm] $\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}$ [/mm] und [mm] $n^{\alpha-1}$ [/mm] einzeln zu betrachten, funktioniert ja auch nicht so einfach, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:06 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
In
$ [mm] \bruch{n^{\alpha}}{n+1}(1-\bruch{1}{n+1})^n [/mm] $
betrachte, zur Orientierung, mal die Fälle [mm] \alpha=1, \alpha=3/2, \alpha=2, [/mm] ...
FRED
|
|
|
|
