Konvergenz Integral (1/ln x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie folgendes integral auf Konvergenz:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{ln x} dx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Soviel ich weiß, gibt es zu [mm] \bruch{1}{ln x} [/mm] keine Stammfunktion. Mein erster Versuch war eine Umformung von [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{ln x} dx} [/mm] auf [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{ln (1-x)} dx} [/mm] (sollte bei diesen Grenzen den selben Wert ergeben). Danach wollte ich zeigen, dass der Betrag von [mm] \bruch{1}{ln (1-x)} [/mm] größer dem Betrag von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist, da ich von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ja weiß, dass sie im angegebenen Intervall nicht konvergiert. Blöderweise ist der Betrag nicht größer (was jeder Mathematiker wahrscheinlich sofort wüsste  . Mit welchem Trick kann ich zeigen, dass das Integral (nicht) konvergiert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
hilft die [mm] lnx\le [/mm] x-1 damit 1/lnx [mm] \ge [/mm] 1/(x-1)
(x-1 ist Tangente bei x=1 und lnx ist konvex also unter der Tangente)
Gruss leduart
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Ja, aber [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] ist vom Betrag her größer als [mm] \bruch{1}{ln x}. [/mm] Da ich ja die Beträge vergleichen muss ist es keine untere Schranke für die Fläche. Wie kann ich das dann verwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Fr 20.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast recht! es war wohl gestern zu spät! aber du kannst ja eine steilere Gerade nehmen, z.Bsp. y=2(x-1) und nur das Stückvom 1-a bis 1 ansehen, in dem |lnx|<|2(x-1)| ist. und wenn das Stück schon divergiert, dann auch das ganze.
Gruss leduart
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