Konvergenz Laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f: \IC\backslash\{0,7 \} \to \IC, f(z)= \bruch {1}{z(z-7)} [/mm]
Bestimmen Sie den Typ der Singularität von f.
Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklungen von f um [mm] z_{0}=7
[/mm]
Bestimmen Sie den Konvergenzbereich dieser Laurentreihen. |
Hallo!
1. f hat bei 0 und 7 jeweils einen Pol 1. Ordnung, da jeweils gilt:
[mm] \lim_{n \to z_{0}} (z-z_{0}) f(z) = g(z) [/mm] mit in [mm] z_{0} [/mm] holomorphen [mm] g(z) [/mm]
2. Durch Partialbruchzerlegung erhalte ich
a) mit |z-7|<7: [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n-1}}{7^{k+2}} [/mm]
b) mit |z-7|>7: [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{k+1}} [/mm]
Stimmt das bis dahin?
Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man ja durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils, oder?
Diese habe ich mit der Formel [mm] Konvergenzradius = \lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] berechnet.
Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe r=7 und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder nicht?
Kann mir hier jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Di 02.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: \IC ohne \{0,7 \} \to \IC, f(z)= \bruch {1}{z(z-7)}[/mm]
> Bestimmen Sie den Typ der Singularität von f.
> Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklungen von f um
> [mm]z_{0}=7[/mm]
> Bestimmen Sie den Konvergenzbereich dieser Laurentreihen.
> Hallo!
> 1. f hat bei 0 und 7 jeweils einen Pol 1. Ordnung, da
> jeweils gilt:
> [mm]lim_{n \to z_{0}} (z-z_{0}) f(z) = g(z)[/mm] mit in [mm]z_{0}[/mm]
> holomorphen [mm]g(z)[/mm]
Was soll das denn ??
Nehmen wir z. B. [mm] z_0=7. [/mm] Dann gibt es eine auf [mm] \IC \setminus \{0\} [/mm] holomorphe Funktion g mit
[mm] $f(z)=\bruch{g(z)}{z-7}$ [/mm] für alle z [mm] \in \IC \setminus \{0\} [/mm] und g(7) [mm] \ne [/mm] 0.
Jetzt hat mans: 7 ist ein Pol 1.Ordnung von f.
> 2. Durch Partialbruchzerlegung erhalte ich
> a) mit |z-7|<7: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n-1}}{7^{k+2}}[/mm]
>
> b) mit |z-7|>7: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{k+1}}[/mm]
>
> Stimmt das bis dahin?
Nein. Es ist chaotisch !
Rechne hier vor !!!
FRED
>
> Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
> Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man ja
> durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> oder?
> Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> berechnet.
> Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe r=7
> und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> nicht?
>
> Kann mir hier jemand helfen?
> Das wäre toll!
>
> Grüßle, Lily
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Hallo!
Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort 
>
> Nehmen wir z. B. [mm]z_0=7.[/mm] Dann gibt es eine auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm]
> holomorphe Funktion g mit
>
> [mm]f(z)=\bruch{g(z)}{z-7}[/mm] für alle z [mm]\in \IC \setminus \{0\}[/mm]
> und g(7) [mm]\ne[/mm] 0.
>
> Jetzt hat mans: 7 ist ein Pol 1.Ordnung von f.
Ok, danke. Das meinte ich auch, habs aber wohl eeetwas blöd ausgedrückt. Tut mir Leid!
>
>
> Nein. Es ist chaotisch !
>
> Rechne hier vor !!!
>
Ok, dann mache ich das mal:
[mm] \bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7} [/mm] durch Multiplikation mit [mm] z(z-7) [/mm] und durch Koeffizientenvergleich erhalte ich die Gleichungen [mm] A+B=0 [/mm] und [mm] -7A=1 [/mm] wodurch ich [mm] A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7} [/mm] erhalte.
[mm] \bruch{1}{7(z-7)} [/mm] ist schon an [mm] z_{0}=7 [/mm] entwickelt, bleibt also noch [mm] \bruch{-1}{7z} [/mm]
a) Sei |z-7|<7.
[mm] \bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}} [/mm]
Damit erhalte ich [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}} [/mm]
b) Sei |z-7|>7
[mm] \bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} [/mm]
Und damit: [mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} [/mm]
Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
Was mache ich denn falsch?
> > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
> > Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man ja
> > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > oder?
> > Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > berechnet.
> > Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe r=7
> > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > nicht?
> >
Grüßle, Lily
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Hallo,
> Hallo!
> Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort
> >
> > Nehmen wir z. B. [mm]z_0=7.[/mm] Dann gibt es eine auf [mm]\IC \setminus \{0\}[/mm]
> > holomorphe Funktion g mit
> >
> > [mm]f(z)=\bruch{g(z)}{z-7}[/mm] für alle z [mm]\in \IC \setminus \{0\}[/mm]
> > und g(7) [mm]\ne[/mm] 0.
> >
> > Jetzt hat mans: 7 ist ein Pol 1.Ordnung von f.
>
> Ok, danke. Das meinte ich auch, habs aber wohl eeetwas
> blöd ausgedrückt. Tut mir Leid!
>
> >
> >
> > Nein. Es ist chaotisch !
> >
> > Rechne hier vor !!!
> >
> Ok, dann mache ich das mal:
> [mm]\bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7}[/mm] durch
> Multiplikation mit [mm]z(z-7)[/mm] und durch Koeffizientenvergleich
> erhalte ich die Gleichungen [mm]A+B=0[/mm] und [mm]-7A=1[/mm] wodurch ich
> [mm]A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7}[/mm] erhalte.
>
> [mm]\bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ist schon an [mm]z_{0}=7[/mm] entwickelt, bleibt
> also noch [mm]\bruch{-1}{7z}[/mm]
>
> a) Sei |z-7|<7.
> [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>
> Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>
> b) Sei |z-7|>7
> [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>
> Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>
> Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
> Was mache ich denn falsch?
So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt, man könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner darstellen.
Bleibt also die Frage: Auf welches gleiche Ergebnis willst du kommen?
Die Reihen aus a) und b) sollen nicht gleich sein.
>
> > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
> > > Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt man
> ja
> > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > oder?
> > > Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > berechnet.
> > > Dann bekomme ich jedoch bei der ersten Laurentreihe
> r=7
> > > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > > nicht?
> > >
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>
> Grüßle, Lily
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Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
> > [mm]\bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7}[/mm] durch
> > Multiplikation mit [mm]z(z-7)[/mm] und durch Koeffizientenvergleich
> > erhalte ich die Gleichungen [mm]A+B=0[/mm] und [mm]-7A=1[/mm] wodurch ich
> > [mm]A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7}[/mm] erhalte.
> >
> > [mm]\bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ist schon an [mm]z_{0}=7[/mm] entwickelt, bleibt
> > also noch [mm]\bruch{-1}{7z}[/mm]
> >
> > a) Sei |z-7|<7.
> > [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>
> >
> > Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>
> >
> > b) Sei |z-7|>7
> > [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>
> >
> > Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>
> >
> > Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
> > Was mache ich denn falsch?
> So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt, man
> könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner
> darstellen.
> Bleibt also die Frage: Auf welches gleiche Ergebnis willst
> du kommen?
> Die Reihen aus a) und b) sollen nicht gleich sein.
Neinnein, ich komme auf das gleiche Ergebnis wie vorher, zu dem mir gesagt wurde, dass es wohl nicht stimmt. Daher habe ich die Rechnungen hier ausgeführt.
Aber gut, wenn das so stimmt, bin ich zufrieden, danke
Dann komme ich zu den Konvergenzen:
> >
> > > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
> > > > Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt
> man
> > ja
> > > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > > oder?
> > > > Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > > berechnet.
> > > > Dann bekomme ich jedoch bei der ersten
> Laurentreihe
> > r=7
> > > > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > > > nicht?
> > > >
Könnte mir da noch jemand helfen?
Das wäre nett!
Grüßle, Lily
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> Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort!
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> > > [mm]\bruch{1}{z(z-7)}= \bruch{A}{z} + \bruch{B}{z-7}[/mm] durch
> > > Multiplikation mit [mm]z(z-7)[/mm] und durch Koeffizientenvergleich
> > > erhalte ich die Gleichungen [mm]A+B=0[/mm] und [mm]-7A=1[/mm] wodurch ich
> > > [mm]A=\bruch{-1}{7}, B=\bruch{1}{7}[/mm] erhalte.
> > >
> > > [mm]\bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ist schon an [mm]z_{0}=7[/mm] entwickelt, bleibt
> > > also noch [mm]\bruch{-1}{7z}[/mm]
> > >
> > > a) Sei |z-7|<7.
> > > [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
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> > >
> > > Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > b) Sei |z-7|>7
> > > [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
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> > >
> > > Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
>
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> > >
> > > Ich komme leider immer noch auf das gleiche Ergebnis!
> > > Was mache ich denn falsch?
> > So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt, man
> > könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner
> > darstellen.
> > Bleibt also die Frage: Auf welches gleiche Ergebnis
> willst
> > du kommen?
> > Die Reihen aus a) und b) sollen nicht gleich sein.
>
> Neinnein, ich komme auf das gleiche Ergebnis wie vorher,
Hingeschrieben hast du im ersten Post aber noch was anderes, was rein formal schon falsch ist. (Werf doch nochmal einen genauen Blick drauf.)
> zu dem mir gesagt wurde, dass es wohl nicht stimmt. Daher habe
> ich die Rechnungen hier ausgeführt.
>
> Aber gut, wenn das so stimmt, bin ich zufrieden, danke
>
> Dann komme ich zu den Konvergenzen:
> > >
> > > > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
> > > > > Den Konvergenzbereich der Laurentreihen grenzt
> > man
> > > ja
> > > > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > > > oder?
Zum Einen ist es falschrum, zum anderen sehr schwammig (bis falsch) formuliert
Bitte schlage nochmal nach.
> > > > > Diese habe ich mit der Formel [mm]Konvergenzradius = lim_{n \to \infty} | \bruch{a_{n}}{a_{n+1}}|[/mm]
> > > > > berechnet.
> > > > > Dann bekomme ich jedoch bei der ersten
> > Laurentreihe
> > > r=7
> > > > > und R=1 heraus. Und es muss doch gelten, dass r<R, oder
> > > > > nicht?
Die 7 passt aber wie kommst du auf die 1?
Was ist denn der Hauptteil?
Warum funktioniert dort obige Formel nicht?
(Cauchy-Hadamard dagegen tut es, wie immer, wäre aber zuviel Kanonen auf Spatzen)
Und warum kann man den Konvergenzradius dafür trotzdem sofort angeben?
P.S. Davon abgesehen, die einzigen Polstellen der Funktion sind bei 0 und 7. Damit ist eigentlich bereits anschaulich klar wie groß die Konvergenzscheibe ist: Sie kann nicht über die (echten) Polstellen hinaus, dazwischen ist die Funktion aber definiert, also r=0 und R=7
>
> Könnte mir da noch jemand helfen?
> Das wäre nett!
> Grüßle, Lily
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Hallo!
> > > > a) Sei |z-7|<7.
> > > > [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{7} \bruch{1}{1+ \bruch{z-7}{7}} = \bruch{-1}{49} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{z-7}{7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
> > > > Damit erhalte ich [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{(z-7)^{n}}{7^{n+2}}[/mm]
> > > > b) Sei |z-7|>7
> > > > [mm]\bruch{-1}{7z} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7+7} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \bruch{1}{1+ \bruch{7}{z-7}} = \bruch{-1}{7} \bruch{1}{z-7} \summe_{n=0}^{ \infty} (- \bruch{7}{z-7})^{n} = \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
> > > > Und damit: [mm]f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}}[/mm]
> > > So weit ich das sehe sind die Rechnungen korrekt,
> man
> > > könnte die Reihe bei der b) allerdings schöner
> > > darstellen.
Könnte das so funktionieren?
[mm] f(z)= \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=0}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} = \bruch{1}{7(z-7)} - \bruch{1}{7(z-7)} + \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} = \summe_{n=1}^{ \infty} (-1)^{n+1} \bruch{7^{n-1}}{(z-7)^{n+1}} [/mm]
> Hingeschrieben hast du im ersten Post aber noch was
> anderes, was rein formal schon falsch ist. (Werf doch
> nochmal einen genauen Blick drauf.)
Oh, ups, ja :-/
> >
> > Dann komme ich zu den Konvergenzen:
> > > >
> > > > > > Dann bei 3. habe ich mir Folgendes gedacht:
> > > > > > Den Konvergenzbereich der Laurentreihen
> grenzt
> > > man
> > > > ja
> > > > > > durch r und R ein, r ist der Konvergenzradius des
> > > > > > Nebenteils und R der Konvergenzradius des Hauptteils,
> > > > > > oder?
> Zum Einen ist es falschrum, zum anderen sehr schwammig
> (bis falsch) formuliert
> Bitte schlage nochmal nach.
Ok, hab ich gemacht. Ich hatte das echt richtig falsch im Kopf :-/
Hier heißt es:
Sei [mm] L(z)=H(z)+N(z) [/mm] eine Laurentreihe im Entwicklungspunkt [mm] z_{0}, [/mm] R>0 der Konvergenzradius des Nebenteils N(z) und r'> der "Konvergenzradius" des Hauptteils H(z), dh. der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] H'(w):=H(1/w + [mm] z_{0})=a_{-1}w+a_{-2}w^2+...
[/mm]
1. Ist r'*R [mm] \le [/mm] 1, so konvergiert L(z) auf keiner offenen Teilmenge von [mm] \IC.
[/mm]
2. Ist r'*R >1 und r:=1/r', so konvergiert L(z) in dem Kreisring [mm] K_{r,R}(z_{0} [/mm] absolut und lokal gleichmäßig gegen eine holomorphe Funktion.
> Die 7 passt aber wie kommst du auf die 1?
> Was ist denn der Hauptteil?
> Warum funktioniert dort obige Formel nicht?
Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist? Also der Hauptteil ist [mm] = \bruch{1}{7(z-7)} [/mm] , dh. [mm] a_{n}= 1/7 [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
> (Cauchy-Hadamard dagegen tut es, wie immer, wäre aber
> zuviel Kanonen auf Spatzen)
Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:
[mm] r'(H(1/w + z_{0})=r'(w/7)= \bruch{1}{ \overline{lim}_{n \to \infty}(\wurzel[n]{|1/7|})}= \bruch{1}{ \overline{lim}_{n \to \infty}(\wurzel[n]{1/7})} = \bruch{1}{ \overline{lim}_{n \to \infty}( \bruch{1}{\wurzel[n]{7}})} [/mm]
[mm] \wurzel[n]{7} [/mm] geht gegen 0 für n gg. [mm] \infty,
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{7}} [/mm] geht dann also gegen [mm] \infty
[/mm]
Damit geht der gesamte Bruch gegen 0
Dh. r'=0,
damit müsste dann aber doch gelten [mm] r=1/0= \infty [/mm]
Irgendwo ist hier ein Fehler.
> Und warum kann man den Konvergenzradius dafür trotzdem
> sofort angeben?
>
> P.S. Davon abgesehen, die einzigen Polstellen der Funktion
> sind bei 0 und 7. Damit ist eigentlich bereits anschaulich
> klar wie groß die Konvergenzscheibe ist: Sie kann nicht
> über die (echten) Polstellen hinaus, dazwischen ist die
> Funktion aber definiert, also r=0 und R=7
> >
Kann man das immer so sagen?
Z.B. auch bei komplexen Polstellen?
Danke für die Hilfe!
Grüßle, Lily
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> Könnte das so funktionieren?
Natürlich.
> Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist?
Keine Ahnung was das aussagen soll.
> Also der Hauptteil ist $ = [mm] \bruch{1}{7(z-7)} [/mm] $ ,
Ja.
> dh. $ [mm] a_{n}= [/mm] 1/7 $ für alle n $ [mm] \in \IN [/mm] $
Nein.
> Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:
Mal abgesehen davon, dass ich sagte, dass man C.H. grade nicht verwenden soll, ist das nicht C.H.
Es gibt einen Unterschied zwischen Limes und Limes superior.
> $ [mm] \wurzel[n]{7} [/mm] $ geht gegen 0 für n gg. $ [mm] \infty, [/mm] $
Nein.
Das sind alles Analysis I Fehler. Vielleicht wäre es sinnvoll sich damit nochmal zu beschäftigen.
> Kann man das immer so sagen?
Primzipiell ja.
> Z.B. auch bei komplexen Polstellen?
Ja. Was unterscheidet den komplexe Polstellen von reellen Polstellen bei einer komplexen Funktion?
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Hallo!
Vielen Dank für deine Geduld mit mir!
> > Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist?
> Keine Ahnung was das aussagen soll.
Schwachsinn -.-
> > Also der Hauptteil ist [mm]= \bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ,
> Ja.
> > dh. [mm]a_{n}= 1/7[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> Nein.
[mm] a_{n}=1/7 [/mm] für n=-1 und [mm] a_{n}=0 [/mm] für alle n [mm] \not= [/mm] -1
>
> > Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:
> Mal abgesehen davon, dass ich sagte, dass man C.H. grade
> nicht verwenden soll,
Das habe ich schon verstanden, aber ich dachte, das sei vllt mal eine gute Übung, wenn man das Ergebnis ja schon weiß, oder nicht?
> ist das nicht C.H.
> Es gibt einen Unterschied zwischen Limes und Limes
> superior.
Das ist mir schon klar, aber es gibt auch Fälle, in denen Limes superior und Limes gleich sind, oder nicht? Und ich dachte, dass das hier der Fall sei, da [mm] \wurzel[n]{1/7} [/mm] mit n gegen unendlich nicht hin und her "springt", so weit ich sehen konnte... ?
>
> > [mm]\wurzel[n]{7}[/mm] geht gegen 0 für n gg. [mm]\infty,[/mm]
> Nein.
Da war ich wohl zu voreilig -.-
es geht von oben gegen 1, oder?
Tut mir Leid, dass ich so langsam bin, aber Konvergenzen waren noch nie meine Freunde :-/
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Mi 03.09.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Vielen Dank für deine Geduld mit mir!
>
> > > Hm... Weil der Hauptteil ohne n ist?
> > Keine Ahnung was das aussagen soll.
>
> Schwachsinn -.-
>
> > > Also der Hauptteil ist [mm]= \bruch{1}{7(z-7)}[/mm] ,
> > Ja.
> > > dh. [mm]a_{n}= 1/7[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> > Nein.
>
> [mm]a_{n}=1/7[/mm] für n=-1 und [mm]a_{n}=0[/mm] für alle n [mm]\not=[/mm] -1
Ja
>
> >
> > > Mit Cauchy-Hadamard hieße das dann:
> > Mal abgesehen davon, dass ich sagte, dass man C.H. grade
> > nicht verwenden soll,
>
> Das habe ich schon verstanden, aber ich dachte, das sei
> vllt mal eine gute Übung, wenn man das Ergebnis ja schon
> weiß, oder nicht?
>
> > ist das nicht C.H.
> > Es gibt einen Unterschied zwischen Limes und Limes
> > superior.
>
> Das ist mir schon klar, aber es gibt auch Fälle, in denen
> Limes superior und Limes gleich sind, oder nicht?
Ja, das stimmt. Kommt aber so gut wie nie vor, nur bei den paar popeligen konvergenten Folgen.....
Spass beiseite. Als Mathe-Student im Hauptstudium, solltest Du wissen, dass bei einer konvergenten Folge [mm] x_n [/mm] gilt:
lim sup [mm] x_n [/mm] = lim [mm] x_n [/mm] = lim inf [mm] x_n.
[/mm]
> Und ich
> dachte, dass das hier der Fall sei, da [mm]\wurzel[n]{1/7}[/mm] mit
> n gegen unendlich nicht hin und her "springt", so weit ich
> sehen konnte... ?
>
> >
> > > [mm]\wurzel[n]{7}[/mm] geht gegen 0 für n gg. [mm]\infty,[/mm]
> > Nein.
>
> Da war ich wohl zu voreilig -.-
> es geht von oben gegen 1, oder?
Ja, auch das sollte man als Mathe-Student im Hauptstudium drauf haben.
>
> Tut mir Leid, dass ich so langsam bin, aber Konvergenzen
> waren noch nie meine Freunde :-/
Dann freunde Dich damit so umgehend wie geschwind an. Sonst werden Master oder Diplom nie Deine Freunde...
Dein Freund FRED
>
> Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:43 Mi 03.09.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Vielen Dank für die Hilfe!
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