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Forum "Uni-Numerik" - Konvergenz Matrix
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Konvergenz Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:46 Do 17.09.2009
Autor: tynia

Hallo. Habe eine kurze Frage und hoffe die kann mir jemand beantworten.

Ich habe eine Matrix A= [mm] \begin{pmatrix} -a & 1 \\ 2 & a \end{pmatrix} [/mm] und soll sagen, für welche a das Jacobi-Verfahren konvergiert.

Die Jacobi-matrix ist: [mm] M_{J}= \begin{pmatrix} 0 & \bruch{1}{a} \\ -\bruch{2}{a} & 0 \end{pmatrix} [/mm]

Ich habe die Eigenwerte bestimmt und erhalte [mm] \pm \bruch{\wurzel{2}}{a}i [/mm]

Der betragsmäßig größte EW ist ja [mm] \bruch{\wurzel{2}}{a}i [/mm] und das muss ja <1 sein

Also ich habe folgende Ungleichung: [mm] \bruch{\wurzel{2}}{a}i [/mm] < 1 [mm] \gdw \wurzel{2}i [/mm] < a

Jetzt habe ich in meiner Mitschrift stehen, dass das Verfahren für [mm] \wurzel{2}<|a| [/mm] konvergiert.

Wie kommt man da drauf? Bin über jede Hilfe dankbar.

LG


        
Bezug
Konvergenz Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Do 17.09.2009
Autor: fred97


> Hallo. Habe eine kurze Frage und hoffe die kann mir jemand
> beantworten.
>  
> Ich habe eine Matrix A= [mm]\begin{pmatrix} -a & 1 \\ 2 & a \end{pmatrix}[/mm] und soll sagen, für
> welche a das Jacobi-Verfahren konvergiert.
>  
> Die Jacobi-matrix ist: [mm]M_{J}= \begin{pmatrix} 0 & \bruch{1}{a} \\ -\bruch{2}{a} & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Ich habe die Eigenwerte bestimmt und erhalte [mm]\pm \bruch{\wurzel{2}}{a}i[/mm]


Korrekt


>  
> Der betragsmäßig größte EW ist ja
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{a}i[/mm] und das muss ja <1 sein

Au Backe !! Deine Eigenwerte sind komplex !!

Was verstehst Du denn unter "betragsmäßig größte EW " ???

Deine beiden Eigenwerte haben den Betrag [mm] \bruch{\wurzel{2}}{|a|} [/mm]


          [mm] \bruch{\wurzel{2}}{|a|}< [/mm] 1 [mm] \gdw[/mm]   [mm]\wurzel{2}<|a|[/mm]
>  
> Also ich habe folgende Ungleichung: [mm]\bruch{\wurzel{2}}{a}i[/mm]
> < 1 [mm]\gdw \wurzel{2}i[/mm] < a

mein Gott, in den komplexen Zahlen gibt es keine Ordnung !!


FRED




>  
> Jetzt habe ich in meiner Mitschrift stehen, dass das
> Verfahren für [mm]\wurzel{2}<|a|[/mm] konvergiert.
>  
> Wie kommt man da drauf? Bin über jede Hilfe dankbar.
>  
> LG
>  
>  

Bezug
                
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Konvergenz Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Do 17.09.2009
Autor: tynia

Dieses Forum ist doch dazu da, Fragen zu stellen, wenn man etwas nicht weiß. Da muss man nicht gleich so genervt reagieren. Tut mir leid, dass ich das nicht kann. Du musst mir ja nicht antworten. Bei einer solchen Reaktion traut man sich ja gar nicht mehr, weiter zu fragen


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Bezug
Konvergenz Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:31 Do 17.09.2009
Autor: fred97


> Dieses Forum ist doch dazu da, Fragen zu stellen, wenn man
> etwas nicht weiß. Da muss man nicht gleich so genervt
> reagieren. Tut mir leid, dass ich das nicht kann. Du musst
> mir ja nicht antworten. Bei einer solchen Reaktion traut
> man sich ja gar nicht mehr, weiter zu fragen
>  
>  

Ich habs nicht bös gemeint, pardon. Frag ruhig weiter

FRED


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Konvergenz Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:33 Do 17.09.2009
Autor: tynia

Ok. ich traue mich mal.

Also wenn ich jetzt komplexe Eigenwerte habe, was für eine Aussage kann ich dann über die Konvergenz treffen?

Ich finde in meinen Unterlagen nix dazu.

Oder soll ich einfach mal die ganze Aufgabe mit den Lösungen posten?
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Konvergenz Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Do 17.09.2009
Autor: fred97

Nimm mal an, Du hast die Eigenwerte [mm] \lambda_j [/mm]  (j=1. .., n) Deiner Matrix.

Gehe nun über zu [mm] |\lambda_j| [/mm]   (j=1. .., n) und bestimme

              m: = max {  [mm] |\lambda_j| [/mm] : j=1. .., n  }

("betragsgr. EW")

Ist m<1, so ist das Verfahren konvergent.

FRED
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Konvergenz Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Do 17.09.2009
Autor: tynia

Ich bin glaube ich einfach zu blöd.

[mm] |\lambda|=\bruch{\wurzel{2}}{|a|}i. [/mm] Da ist doch noch das i. [verwirrt]

Wenn das i da nicht wäre, würde ich verstehen das der |a| > [mm] \wurzel{2} [/mm] sein muss.

Wie gesagt, ich bin zu blöd. Ich sehe hier irgendwie nicht, was das Problem ist, oder besser noch, was mein Problem ist :-)
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Bezug
Konvergenz Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Do 17.09.2009
Autor: fred97


> Ich bin glaube ich einfach zu blöd.
>  

>[mm]|\lambda|=\bruch{\wurzel{2}}{|a|}i.[/mm] Da ist doch noch das i.
> [verwirrt]

Sei [mm] \lambda [/mm] = $ [mm] \pm \bruch{\wurzel{2}}{a}i [/mm] $

Dann ist

          [mm] |\lambda|=\bruch{\wurzel{2}}{|a|}. [/mm]  

           Ohne i  !,

           der Betrag ist reell.

Zum Beispiel ist  $|8i| = 8$

Jetzt klar ?

FRED


>  
> Wenn das i da nicht wäre, würde ich verstehen das der |a|
> > [mm]\wurzel{2}[/mm] sein muss.
>  
> Wie gesagt, ich bin zu blöd. Ich sehe hier irgendwie
> nicht, was das Problem ist, oder besser noch, was mein
> Problem ist :-)

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Konvergenz Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Do 17.09.2009
Autor: tynia

JA: Jetzt ist es klar. Vielen Dank.
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Konvergenz Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:13 Do 17.09.2009
Autor: fred97

Toll !

FRED
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Konvergenz Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:15 Do 17.09.2009
Autor: tynia

Ich wusste das mit dem Betrag einfach nicht mehr. Jetzt dafür aber. Bis zur nächsten Frage :-)
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Konvergenz Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:22 Do 17.09.2009
Autor: fred97


> Ich wusste das mit dem Betrag einfach nicht mehr. Jetzt
> dafür aber. Bis zur nächsten Frage :-)

Nur keine Hemmungen

FRED
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