Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 So 15.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
| Aufgabe | Sei [mm] x_{n}>0 \forall [/mm] n [mm] \in \IN, x_{n} \in \IR. [/mm] Sei weiters [mm] \summe_{i=1}^{\infty} x_{n} [/mm] konv.
zz.: [mm] y_{n} \in \IR [/mm] mit
1. [mm] y_{n}/x_{n} [/mm] --> [mm] \infty [/mm] (n--> [mm] \infty)
[/mm]
2. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}y_{n} [/mm] konv. |
Hi an alle!
Vielleicht kann mir hier ja jemand weiterhelfen.
also ich definiere mal [mm] z_{n} [/mm] := [mm] \summe_{i=n+1}^{\infty}x_{i} [/mm] die nach oben verschobene Reihe.
Dann probiere ich mal, zu zeigen, dass die Folge [mm] (z_{n}) [/mm] eine s.m.f Nullfolge ist.
Da [mm] \summe_{n=1}^{\infty}x_{n} [/mm] bereits konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] auch [mm] z_{n} [/mm] konv. daraus müsste doch eigentlich smf bereits folgen, oder?
Habe dann den Tipp bekommen, dass ich dann [mm] y_{n} [/mm] als
[mm] \wurzel[2]{z_{n-1}}- \wurzel[2]{z_{n}} [/mm] setzen kann, um zu zeigen, dass [mm] (y_{n}/x_{n}) \ge [/mm] 1 / ( 2 * [mm] \wurzel[2]{z_{n-1}}), [/mm] sodass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}y_{n} [/mm] konv ist mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(x_{n})^{1/2}.
[/mm]
Wie das aber genau funktioniert soll, versteh ich nicht ganz.
Danke für Eure Zeit!
Lg Sr
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
bewege ich mich mit diesem Ansatz zumindest in die richtige Richtung oder bin ich da ganz falsch an?
Danke für Eure Zeit!! =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Mo 16.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab nicht klar, was heir gegeben ist und was zu beweisen.
wenn gegeben ist [mm] y_n/x/n [/mm] geht für n gegen unendlich, kann man sichr nicht beweisen dass Summe [mm] y_n [/mm] konvergiert.
denn nimm [mm] x_n =q^n [/mm] q<1
und [mm] y_n [/mm] =1 dann konvergiert summe [mm] y_n [/mm] nicht.
ausser dem zu deinem vorschlag, den ich nicht ganz kapiere:wenn [mm] \summe_{i=1}^{\infty}x_i [/mm] konvergiert, so muss das nicht für [mm] \summe_{i=1}^{\infty}x_i^{1/2} [/mm] gelten
Überprüf doch nochmal deine Aufgabenstellung. am besten wörtlich abschreiben.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Mo 16.11.2009 | | Autor: | Roli772 |
Danke für dein Bemühen!
> ich hab nicht klar, was heir gegeben ist und was zu
> beweisen.
Die Aufgabenstellung stimmt schon so:
gegeben ist eben:
> Sei [mm]x_{n}>0 \forall[/mm] n [mm]\in \IN, x_{n} \in \IR.[/mm] Sei weiters
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} x_{n}[/mm] konv.
und beweisen soll ich 2 Dinge;
[mm]y_{n} \in \IR[/mm] mit
> 1. [mm]y_{n}/x_{n}[/mm] --> [mm]\infty[/mm] (n--> [mm]\infty)[/mm]
> 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty}y_{n}[/mm] konv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 16.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
yn=xn erfüllt die Voers und yn/xn ist 1 für alle n, also auch für n gegen unendlich.
2. über yn ist nichts gesagt ausser es ist aus R also yn=1 , die Summe konvergiert nicht.
Hast du wirklich die Aufgabe abgeschrieben?
Da steht sicher nicht :"und beweisen soll ich"
steht da ganz vielleicht [mm] x_n/y_n [/mm] konvergiert gegen 1?
so wie es jetzt dasteht hab ich dir ja Gegenbeispiele gemacht, also kannst du nix beweisen.
Gruss leduart
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