Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 So 13.11.2011 | | Autor: | Balodil |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} sin(\bruch{k\pi }{2}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{ln(k)} [/mm] (Leibniz Kriterium?) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen guten abend!
Zuerst einmal habe ich mich mit dem leibnizkriterium versucht:
Zu zeigen das die Reihe alternierend ist, ist logisch
Das sie eine nullfolge ist auch
Allerdings bin ich ich mir mit der fallenden Monotomie unsicher. Denn der sinus sieht ja wie folgt aus in diesem Fall: 0 / -1 / 0 / 1 und die nullen machen das irgendwie kaputt??
Danach habe ich mir überlegt ob ich nicht auch das Majoranten Krit. anwenden könnte:
Dann schätze ich [mm] sin(\bruch{k\pi }{2}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{ln(k)} \le \bruch{1}{ln(k)} [/mm] ab, da der sinus zwischen -1 und 1.
Und das [mm] \bruch{1}{ln(k)} [/mm] konvergiert lässt sich schnell mit dem Quotienten Krit. zeigen.
Wäre das eine Möglichkeit?
VIelen Dank
lg Balodil
|
|
| |
|
Hallo,
> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} sin(\bruch{k\pi }{2})[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{ln(k)}[/mm] (Leibniz Kriterium?)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Schönen guten abend!
>
> Zuerst einmal habe ich mich mit dem leibnizkriterium
> versucht:
> Zu zeigen das die Reihe alternierend ist, ist logisch
> Das sie eine nullfolge ist auch
> Allerdings bin ich ich mir mit der fallenden Monotomie
> unsicher. Denn der sinus sieht ja wie folgt aus in diesem
> Fall: 0 / -1 / 0 / 1 und die nullen machen das irgendwie
> kaputt??
Eigentlich nicht. Wenn du die Nullen als "keine Summanden" auffasst, veränderst du ja die Summationsreihenfolge nicht. Du kannst also schreiben:
[mm] $\sum_{k=2}^{\infty}a_k$
[/mm]
mit [mm] $a_k [/mm] = [mm] \sin(\frac{k*\pi}{2})*\frac{1}{\ln(k)} [/mm] = [mm] \begin{cases}0, \quad\quad \mbox{falls } k=2m\\ (-1)^{m}\frac{1}{\ln(2m+1)},\quad\quad \mbox{falls } k = 2m+1\end{cases}$ [/mm] folgt:
[mm] $\sum_{k=2}^{\infty}a_k [/mm] = [mm] \sum_{m=1}^{\infty}(-1)^m *\frac{1}{\ln(2m+1)}$.
[/mm]
> Danach habe ich mir überlegt ob ich nicht auch das
> Majoranten Krit. anwenden könnte:
> Dann schätze ich [mm]sin(\bruch{k\pi }{2})[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{ln(k)} \le \bruch{1}{ln(k)}[/mm] ab, da der sinus
> zwischen -1 und 1.
> Und das [mm]\bruch{1}{ln(k)}[/mm] konvergiert lässt sich schnell
> mit dem Quotienten Krit. zeigen.
> Wäre das eine Möglichkeit?
Nein.
Es ist doch schon [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ [/mm] divergent (harmonische Reihe). Außerdem ist [mm] $\frac{1}{\ln(k)} \ge \frac{1}{k}$, [/mm] weil [mm] $\ln(k)$ [/mm] viel langsamer wächst als $k$. Damit wird auch die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\ln(k)}$ [/mm] divergent sein.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 So 13.11.2011 | | Autor: | Balodil |
super vielen Dank für die schnelle Antwort :)
|
|
|
|
