Konvergenz/Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihe [mm] \sum_{n=1}^\infty u_n [/mm] auf Konvergenz
[mm] u_n [/mm] = [mm] (2-\wurzel{e})*(2-\wurzel[3]{e})...(2-\wurzel[n]{e}) [/mm] |
Hallo
Ich weiß:
e < [mm] (1-1/n)^n
[/mm]
[mm] u_n [/mm] > [mm] (2-\wurzel{(1-1/n)^n})*(2-\wurzel[3]{(1-1/n)^n})...(2-\wurzel[n]{(1-1/n)^n})= (2-\wurzel{(1-1/n)^n})*(2-\wurzel[3]{(1-1/n)^n})...(2-(1-1/n))= (2-\wurzel{(1-1/n)^n})*(2-\wurzel[3]{(1-1/n)^n})...(1+1/n)
[/mm]
Ich komme da nicht wirklich weiter.
Hat wer einen Tipp?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo theresetom!
> Ich weiß: e < [mm](1-1/n)^n[/mm]
Also das wurde ich arg anzweifeln ...
Wie sieht es denn mit dem Trivialkriterium aus: ist [mm] $u_n$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:08 Sa 26.05.2012 | | Autor: | theresetom |
Ich weiß nicht wie ich heraufinden soll ob [mm] u_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Kannst du mir da nochmal helfen?
Übrigens:
e < [mm] (1-1/n)^{n+1}
[/mm]
so passt es
aber siehe: http://www.math.tuwien.ac.at/~winfried/teaching/103.088/WS201112/downloads/Analysis-I-Aufgabensammlung.pdf
seite 24 Übung 5.2.13
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
also mir kommen Zweifel daran, ob in der Aufgabenstellung (also auch in der verlinkten Pdf-Datei) nicht ein gravierender Fehler drinsteckt. Die Summe geht nämlich tatsächlich bei n=1 los und das ist, so wie es dasteht, gar nicht definiert.
Wenn sich da jemand verschrieben hat und es sollte bei n=2 losgehen, dann würde die Aufgabe Sinn ergeben.
EDIT:
Der Rest meines Beitrags enthielt einen Tipp, der völlig falsch war und den ich deshalb gelöscht habe.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo, nehmen wir mal an die summe beginne bei n=2, wie ist dann das vorgehen?
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
> Hallo, nehmen wir mal an die summe beginne bei n=2, wie ist
> dann das vorgehen?
Nimm doch mal Loddars Tipp.
Alle Faktoren von [mm] u_n [/mm] sind kleiner als 1.
Man sieht also nicht unmittelbar, ob [mm] (u_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge ist, aber es sieht ganz so aus.
Wie kannst Du das zuverlässig herausfinden?
Ansonsten würde ich hier mal das Quotientenkriterium versuchen. Wurzelkriterium geht zwar auch, ist aber hier etwas mühsamer.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
[mm] |u_{n+1} /u_n [/mm] | = [mm] |\frac{(2-\wurzel{e})\cdot{}(2-\wurzel[3]{e})...(2-\wurzel[n]{e})*(2-\wurzel[n+1]{e})}{(2-\wurzel{e})\cdot{}(2-\wurzel[3]{e})...(2-\wurzel[n]{e})}|= [/mm] |2- [mm] \wurzel[n+1]{e}|= [/mm] | 2 - [mm] e^{\frac{1}{n+1}} [/mm] |
[mm] ->n->\infty [/mm] 1
sagt mir also nichts ;(
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
das Quotientenkriterium ist hier tatsächlich das Mittel der Wahl. Mit dem Hinweis des Dozenten kann man den Quotienten so nach oben abschätzen, dass sein Grenzwert echt kleiner als 1 ist.
Probier es doch mal aus und mache genau da weiter, wo du jetzt aufgehört hast. Nur die Potenzschreibeise der Wurzel ist unnötig, sie bringt dir ja keinen Erkenntnisgewinn.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo
Du meinst den Hinweis:
e > $ [mm] (1-1/n)^n [/mm] $
[mm] |u_{n+1} /u_n [/mm] | = [mm] |\frac{(2-\wurzel{e})\cdot{}(2-\wurzel[3]{e})...(2-\wurzel[n]{e})\cdot{}(2-\wurzel[n+1]{e})}{(2-\wurzel{e})\cdot{}(2-\wurzel[3]{e})...(2-\wurzel[n]{e})}|= [/mm] |2- [mm] \wurzel[n+1]{e}|< [/mm] $ | 2 - [mm] \wurzel[n+1]{(1-1/n)^n} [/mm] | = | 2 - [mm] (\wurzel[n+1]{1-1/n})^n$ [/mm] |
Gibt es da nun eine Rechenregel die mir nicht bekannt ist?
LG
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
ich habe deine Frage mal vor matux gerettet. 
Irgendwie sollten wir dieses Problem ja noch klären, es ist immerhin eine insofern interessante Reihe, als sie sich - entgegen meiner obigen Aussage - offensichtlich jedem Versuch mittels Quotienten- und Wurzelkriterium erfolgreich widersetzt.
Da ich dir damit offensichtlich einen falschen Tipp gegeben habe, und ja auch die Aufgabenstellung selbst in deiner Quelle etwas fehlerhaft zu sein scheint, hat mir das jetzt keine Ruhe gelassen.
Ich hatte gestern mit Excel noch die ersten 60 Reihenglieder berechnet, das Resultat davon war aber auch nichts halbes und nichts ganzes.
Heute hatte ich etwas mehr Zeit, und bin mal die etwas exotischeren Konvergenzkriterien durchgegangen. Hier mein Resultat, wonach die Reihe divergiert (wobei es gut wäre, wenn noch irgendjemand die Richtigkeit meiner Vorgehensweise bestätigen könnte):
Es ist ja zunächst
[mm] \bruch{a_n}{a_{n-1}}=2-\wurzel[n]{e} [/mm] (*)
Der Hinweis in der Pdf-Datei ist ja, ebenso wie der Startwert der Indexvariablen, total verkorkst. Ich verwende ersatzweise
[mm] e>\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n
[/mm]
und gehe damit in (*) ein, um nach unten abzuschätzen. Damit bekomme ich
[mm] 2-\wurzel[n]{e}>1-\bruch{1}{n}>1-\bruch{1}{n-1}
[/mm]
wobei die letzte Abschätzung in meinen Augen die Lösung bringt: jetzt ist nämlich vermittelst dem ![[]](/images/popup.gif) Kriterium von Raabe* Divergenz gezeigt, wie gesagt: unter dem Vorbehalt, dass ich mich nicht irgendwo geirrt habe.
Falls ich mich nicht geirrt habe, so wäre die Aufgabe zwar gelöst, aber es bleiben Fragen: die Aufgabensammlung entstammt einer Analysis-1-Vorlesung, das besagt zumindest ihr Name. Das legt nahe, dass es doch noch eine einfacher zu begründende Lösungsmöglichkeit gibt.
Und wenn ich noch etwas persönlich hinzufügen darf: man kann theoretisch gegebene Antworten in einem Matheforum gründlicher verarbeiten, als es hier geschehen ist.
Gruß, Diophant
*Das, was in der Wikipedia als '2. Version' bezeichnet wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 29.05.2012 | | Autor: | theresetom |
Danke,
auch wenn ich das kriterium nicht wirklich verwenden kann - da wir es nicht in der vorlesung hatten.
Aber großes Danke, dass du dich damit so zeitintensiv beschäftigt hast.
|
|
|
| |
|
Hallo theresetom,
da die Aufgabe anders ist als andere (häufigere und daher "langweiligere") Übungsaufgaben, habe ich wie Diophant auch noch ein bisschen darauf herumgedacht.
Ich denke, es ist besser, erst eine einfachere/handlichere Abschätzung zu finden, z.B. [mm] u_n>\bruch{1}{2}e^{1/n}; [/mm] was natürlich nur stimmt, wenn für die gesamte Aufgabe n>1 gilt. Selbst dann ist es nur per Induktion zu zeigen...
Dann bleibt noch zu zeigen, dass die gefundene Minorante divergent ist.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Diophant,
es ist [mm] $u_1$ [/mm] sehr wohl definiert, wenn wir das leere Produkt = 1 setzen. Dies ist aber allgemein üblich, genauso wie die Summe der Elemente der leeren Menge als Null definiert wird. Allgemein definiert man den Wert einer "nullmaligen" Verknüpfung von Gruppenelementen als das neutrale Element der Gruppe. Vergleiche [mm] $a^0=1$ [/mm] oder $0!=1$.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Mi 30.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
> es ist [mm]u_1[/mm] sehr wohl definiert, wenn wir das leere Produkt
> = 1 setzen. Dies ist aber allgemein üblich, genauso wie
> die Summe der Elemente der leeren Menge als Null definiert
> wird. Allgemein definiert man den Wert einer "nullmaligen"
> Verknüpfung von Gruppenelementen als das neutrale Element
> der Gruppe. Vergleiche [mm]a^0=1[/mm] oder [mm]0!=1[/mm].
Naja, das ist hier wohl gar nicht nötig. Man sollte nur nicht mit [mm] u_0 [/mm] anfangen, weil das nur uneigentlich definiert wäre: [mm] (1-\wurzel[0]{e}), [/mm] und im Grenzprozess die ganze Klammer auch noch Null ergibt. Also wäre hier [mm] u_0 [/mm] mit Deiner Argumentation =1 zu setzen, wenn man es überhaupt benötigt.
Wenn wir mit [mm] u_1 [/mm] beginnen, dann würde ich nach der Definition davon ausgehen, dass [mm] u_1=(1-\wurzel[1]{e}) [/mm] ist. Das hat den Schönheitsfehler, dass es negativ ist, während alle andere Faktoren später positiv sein werden. Das ändert natürlich nichts an der Aufgabe, aber so rein gefühlsmäßig muss man entscheiden, was "hübscher" ist: die Berechnung erst bei n=2 zu beginnen, oder eben den negativen Faktor in Kauf zu nehmen.
Das dürfte reine Geschmackssache sein. Mit geht es wie Diophant, ich würde auch erst bei n=2 beginnen. Aber das ist eine sonst nutzlose Diskussion um den Damenbart der Kaiserin.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo reverend,
Ohne Pünktchen lese ich die Definition von [mm] $u_n$ [/mm] so:
[mm] $u_n=\prod_{k=2}^n (2-\root [/mm] k [mm] \of [/mm] e)$
Und für $n=1$ steht da das leere Produkt, also 1.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Mi 30.05.2012 | | Autor: | reverend |
Ja, so wäre es viel schöner und sauberer!
Aber wie gesagt, für die Konvergenz der Reihe ist es ja auch egal.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Do 31.05.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
wir wissen aus der Einführung von $e$: [mm] $e<\left(\bruch k {k-1}\right)^k$.
[/mm]
Also [mm] $e^{1/k} [/mm] < [mm] \bruch [/mm] k {k-1}$. (Monotonie der Wurzel)
Also [mm] $2-\root [/mm] k [mm] \of [/mm] e > 2 - [mm] \bruch [/mm] k {k-1} = [mm] \bruch [/mm] {k-2} {k-1}$.
Für [mm] $n\ge [/mm] 2$ folgt:
[mm] $u_n=(2 [/mm] - [mm] \sqrt e)*\prod_{k=3}^n(2-\root [/mm] k [mm] \of [/mm] e) [mm] \ge (2-\sqrt e)*\prod_{k=3}^n\bruch [/mm] {k-2} [mm] {k-1}=(2-\sqrt e)*\bruch [/mm] 1 {n-1}$.
Damit erweist sich die harmonische Reihe als Minorante.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:24 Do 31.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Wolfgang,
schick. Das ist die gesuchte Lösung.
Die habe ich nicht gefunden.
lg
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Do 31.05.2012 | | Autor: | theresetom |
danke für den eleganten lösungsweg;)
LG
|
|
|
|
