Konvergenz Reihe mit Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mo 28.05.2012 | | Autor: | mesmo |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}), [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] eine reelle Folge mit [mm] a_{n} \ge [/mm] 0. Weiter sei [mm] (b_{n}) [/mm] eine durch [mm] b_{0} [/mm] =1 und [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] + [mm] a_{n} [/mm] / [mm] b_{n} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] induktiv definierte Folge.
Beweisen Sie: Die Folge [mm] b_{n+1} [/mm] konvergiert genau dann, wenn die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert. |
Hi,
ich müsste ein paar Aufgaben an Folgen machen, aber bei der genannte Aufgabe komme ich irgendwie nicht weiter.
Mein Ansatz wäre, solange die Folge einen divergenten Teil hat, kann die Folge nicht konvergieren. Aber ich weiss nicht, wie ich die Aufgabe angehen soll.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mesmo!
Kann es sein, dass Dir ein Tippfehler unterlaufen ist? Gehört in der Aufgabenstellung hinter das [mm]b_{n+1}[/mm] nicht eher ein "=" anstatt des "+"?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Mo 28.05.2012 | | Autor: | mesmo |
Oje, hab mehrere Fehler gehabt, danke fürs Bescheid geben, habe sie jetzt alle korrigiert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mesmo!
Znächst einmal folgt aus der Definition von [mm]b_n[/mm] , dass diese Folge nur aus Gliedern mit [mm]\ge \ 1[/mm] besteht.
Aus der Konvergenz der Reihe folgt, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.
Nun formuliere hier das [mm]\varepsilon[/mm]-Kriterium (wobei [mm]b_[/mm] der Grenzwert der Folge [mm]b_n[/mm] sei):
[mm]\left| \ b_{n+1}-b \ \right| \ = \ \left| \ b_n+\bruch{a_n}{b_n}-b \ \right| \ = \ \left| \ b_n-b+\bruch{a_n}{b_n} \ \right| \ \le \ \left| \ b_n-b \ \right|+\left| \ \bruch{a_n}{b_n} \ \right| \ \le \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 28.05.2012 | | Autor: | mesmo |
Daraus folgt: [mm] ...\le |b_{n}-b|+ a_{n}/b_{n} \le |b_{n}-b|<\varepsilon.
[/mm]
Die Definition ist doch: [mm] |b_{n}-b|<\varepsilon, [/mm] ist es somit bewiesen, dass [mm] b_n [/mm] konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mesmo!
Das sieht prinzipiell nicht schelcht aus.
Aber über den zweiten Bruch, sprich: den Term [mm] $\left| \ \bruch{a_n}{b_n} \ \right|$ [/mm] solltest Du Dich noch etwas genauer "auslassen" bzw. begründen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 28.05.2012 | | Autor: | mesmo |
Das Quotientenkriterium besagt doch: [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] <1 D.h.: [mm] |\bruch{a_{n}}{b_{n}}| [/mm] <1 => [mm] a_{n}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 Di 29.05.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo mesmo!
Aus den ganz oben genannten Bedingungen / Relationen folgt doch:
[mm]\left| \ \bruch{a_n}{b_n} \ \right| \ \le \ \left| \ a_n \ \right| \ = \ \left| \ a_n-0 \ \right| \ \le \ \bruch{\varepsilon}{2}[/mm]
Gruß
Loddar
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
und ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Was machst Du hier? Das verstehe ich gerade überhaupt nicht.
