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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz Reihe mit Parameter
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Konvergenz Reihe mit Parameter: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:04 So 22.11.2009
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Für welche x konvergiert die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{1+x^{k}}$ [/mm]

Hallo!

Nachdem ich daran gescheitert bin, den Ausdruck in eine Potenzreihe umzuwandeln, habe ich das Quotientenkriterium angewendet und kam auf:

[mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] = 1 + [mm] \frac{x-1}{1+x^{k+1}}$. [/mm]

Der Ausdruck muss ja nun echt kleiner 1 sein, d.h. es muss gelten:

[mm] $\frac{x-1}{1+x^{k+1}} [/mm] < 0$ (*).

Nun habe ich eine Fallunterscheidung gemacht:

$x [mm] \ge [/mm] 1$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) größergleich 0 und auch der Nenner ist größer 0, also der gesamte Bruch größergleich 0 --> Für diese x konvergiert die Reihe nicht.

$0 [mm] \le [/mm] x < 1$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) negativ, der Nenner aber positiv, also der gesamte Bruch negativ. --> Für diese x konvergiert die Reihe.

$-1 < x < 0$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) negativ, und der Nenner weiterhin positiv, da [mm] $|x^{k+1}| [/mm] < 1$ für $-1 < x < 0$ und somit $1 + [mm] x^{k+1} [/mm] > 0$. --> Für diese x konvergiert die Reihe.

$x < -1$: Dann ist der Zähler des Bruches (*) negativ, aber der Nenner auch negativ, weil [mm] $|x^{k+1}| [/mm] > 1$ für $|x| > 1$ und somit für $k = 2n$, [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: $1 + [mm] x^{k+1}< [/mm] 0$. D.h. für unendlich viele k gilt dann die Bedingung des Quotientenkriteriums nicht. --> Für diese x konvergiert die Reihe nicht.

Also komme ich insgesamt zu: Die Reihe konvergiert für $-1 < x < 1$.

Stimmt das? Sind meine Begründungen "hieb- und stichfest"?
Danke für Eure Korrektur,

Stefan

        
Bezug
Konvergenz Reihe mit Parameter: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Di 24.11.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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