Konvergenz Zahlenfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 So 10.01.2010 | | Autor: | Equinox |
| Aufgabe | | [mm] (a_n)^{\infty}_{n=1} [/mm] und [mm] (b_n)^{\infty}_{n=1} [/mm] konvergieren [mm] \gdw (a_n+b_n)^{\infty}_{n=1} [/mm] und [mm] (a_n-b_n)^{\infty}_{n=1} [/mm] konvergieren |
Hallo, habe Probleme zu zeigen das die Summe und Differenz zweier konvergenter Zahlenfolgen auch wieder konvergent ist, wie kann man das am besten machen?
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Hiho,
schreibe dir die Definition hin, was es heisst, dass bspw. [mm] (a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] konvergiert, nutze die Dreiecksungleichung und die Tatsache, dass [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] konvergieren um das zu zeigen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 So 10.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Die Konvergenz ergibt sich aus der Monotonie und der Beschränktheit der Folge. Das heißt für [mm] (a_n)+(b_n)=|a_n+b_n|\le|a_n|+|b_n|\le\epsilon
[/mm]
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> Die Konvergenz ergibt sich aus der Monotonie und der
> Beschränktheit der Folge. Das heißt für
> [mm](a_n)+(b_n)=|a_n+b_n|\le|a_n|+|b_n|\le\epsilon[/mm]
Gut, das erste Gleichheitszeichen gilt natürlich nur für positive Folgenglieder..... aber der Rest stimmt.
Und wo war jetzt dein Problem? 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 So 10.01.2010 | | Autor: | Equinox |
Hmmm mein Problem, das kann doch nicht der Beweis sein? Muss man da nicht mehr zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 So 10.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Equinox!
> Muss man da nicht mehr zeigen?
Nö! Warum auch?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 So 10.01.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich habe in der Aufgabe nicht gelesen, dass die Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] monoton sind. Insofern kann man eine solche Eigenschaft für den Beweis nicht benutzen.
Ich habe folgenden Vorschlag.
sei [mm] c_n=a_n+b_n [/mm] und [mm] d_n=a_n-b_n
[/mm]
Die Folgen [mm] c_n [/mm] und [mm] d_n [/mm] sind nach Voraussetzung konvergent.
Also ist auch die Folge [mm] \bruch{c_n+d_n}{2} [/mm] konvergent.
Es gilt [mm] \bruch{c_n+d_n}{2}=a_n [/mm] und damit ist [mm] a_n [/mm] konvergent. Ebenso zeigt man aus der Identität [mm] \bruch{c_n-d_n}{2}=b_n [/mm] das die Folge [mm] b_n [/mm] konvergent ist.
Korrekterweise müsste man alles noch formal richtig hin schreiben.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 So 10.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
kurz zur Klarstellung:
Ullims Antwort bezieht sich auf die Rückrichtung, während sich die anderen Antworten auf die Hinrichtung beziehen.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 So 10.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
ich muss leider meinen Vorrednern widersprechen: An diesem "Beweis" stimmt leider kaum etwas.
> Die Konvergenz ergibt sich aus der Monotonie und der
> Beschränktheit der Folge.
Warum sollte die Folge [mm] $(a_n+b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] monoton sein? Und auch die Beschränktheit müsste erstmal gezeigt werden (wird allerdings beim Beweis der Konvergenz von [mm] $(a_n+b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] nicht weiterhelfen).
> [mm] $(a_n)+(b_n)=|a_n+b_n|$
[/mm]
Dies stimmt, wie Gonozal_IX richtig angemerkt hat, nicht (z.B. [mm] $-5+3\not= [/mm] |-5+3|$).
> [mm] $|a_n+b_n|\le|a_n|+|b_n|$
[/mm]
Richtig, das liefert die Dreiecksungleichung.
> [mm] $|a_n|+|b_n|\le\epsilon$
[/mm]
Falsch. Z.B. erfüllen die konstanten Folgen gegeben durch [mm] $a_n=2$ [/mm] und [mm] $b_n=0$ [/mm] für [mm] $\epsilon=1$ [/mm] für kein [mm] $n\in\IN$ [/mm] diese Bedingung. Warst du vielleicht irrtümlicherweise davon ausgegangen, dass [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen 0 konvergieren? Sie können genauso gut gegen jeden anderen Grenzwert konvergieren.
Schreibe einmal auf, was es bedeutet, dass [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren!
Dann kannst du noch einmal mit dem Beweis der Konvergenz von [mm] $(a_n+b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] beginnen. Hast du eine Vermutung, gegen welchen Grenzwert diese Folge konvergieren könnte (in Abhängigkeit von den Grenzwerten von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$)? [/mm] Was ist zum Beweis dieser Vermutung zu zeigen?
Viele Grüße
Tobias
P.S.: Ich könnte mir auch vorstellen, dass ihr schon hattet, dass mit [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] auch [mm] $(a_n+b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(a_n-b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren. In diesem Fall wäre nur die Rückrichtung zu zeigen. Trotzdem wäre es natürlich sinnvoll, dir auch Gedanken über einen Beweis der Hinrichtung zu machen.
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