Konvergenz alternierend Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo an alle,
es geht um die Konvergenz, bzw. absolute Konvergenz alternierender Reihen. Ich mache da i.wo einen Denkfehler und ich hoffe, ihr könnt mir dabei helfen.
Wenn ich eine alternierende Reihe habe, wende ich ja das Leibniz-Kriterium an und wenn die Folge dann eine monoton fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe. Um zu prüfen, ob sie eine Nullfolge ist, kann ich den Grenzwert ausrechnen. Ab jetzt mache ich i.wo einen Denkfehlern, denn um zu prüfen, ob sie monoton fallend ist, kann ich ja das Quotientenkriterium verwenden, wenn nun der Betrag kleiner 1 ist, hieße das, meine Reihe ist konervent.
Aber das Quotientenkriterium besagt doch auch, das etwas absolut konvergent ist. Und da ich nur die Folge der alternierenden Reihe überprüfe, also quasi den Betrag davon, müsste dann ja für die Reihe gelten, dass sie auch absolut konvergent ist.
Das hieße doch aber im Umkehrschluss, das jede konvergente alternierende Reihe auch absolut konvergent ist und das stimmt ja nicht oder?
Ich hoffe, ihr konntet meinen wirren Gedankengängen folgen und mir helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wenn ich eine alternierende Reihe habe, wende ich ja das
> Leibniz-Kriterium an und wenn die Folge(1) dann eine monoton
> fallende Nullfolge ist, konvergiert die Reihe. Um zu
> prüfen, ob sie eine Nullfolge ist, kann ich den Grenzwert
> ausrechnen. Ab jetzt mache ich i.wo einen Denkfehler, denn
> um zu prüfen, ob sie monoton fallend ist, kann ich ja das
> Quotientenkriterium verwenden, wenn nun der Betrag(2) kleiner
> 1 ist, hieße das, meine Reihe ist konvergent.
> Aber das Quotientenkriterium besagt doch auch, dass etwas(3)
> absolut konvergent ist. Und da ich nur die Folge der
> alternierenden Reihe überprüfe, also quasi den Betrag
> davon, müsste dann ja für die Reihe gelten, dass sie auch
> absolut konvergent ist.
> Das hieße doch aber im Umkehrschluss, das jede konvergente
> alternierende Reihe auch absolut konvergent ist und das
> stimmt ja nicht oder?
Hallo dieTangente ,
ich sehe ein gewisses Problem darin, dass du dich
an verschiedenen Stellen nicht wirklich klar ausdrückst,
sondern ziemlich verschwommen. Beispiele:
(1) : welche Folge ?
(2) : welcher Betrag ?
(3) : etwas ... was denn ?
Wenn du bei einer Folge reeller Werte [mm] a_n
[/mm]
zeigen kannst, dass etwa [mm] $\vmat{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\,<\,q$
[/mm]
für alle n und für ein q mit 0<q<1 , dann liegt
tatsächlich eine Nullfolge vor mit zugehöriger
absolut konvergenter Reihe.
Die Bedingung [mm] $\vmat{\frac{a_{n+1}}{a_n}}\,<\,q\,<\,1$
[/mm]
ist aber keineswegs für alle (auch nicht alle monotonen)
Nullfolgen erfüllt !
Dein vermeintlicher "Umkehrschluss" funktioniert
also einfach nicht !
LG Al-Chwarizmi
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